ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

技術要約：ある種の退化型完全非線形擬似$p$-ラプラシアン方程式におけるABP推定とハーナックの不等式

問題設定
本論文は、非発散形式における特定のクラスの退化型完全非線形擬似$p$-ラプラシアン方程式の粘性解に関する基本的な正則性理論を調査するものである。主な研究対象は、以下の不等式系である：
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
ここで、$B_1$は単位球であり、$p \geq 0$、$0 < \lambda \leq \Lambda$、$f \in L^n(B_1)$、$[\cdot]$は対角行列を表す。

対処すべき中心的な困難は、これらの作用素に内在する**座標成分ごとの退化（coordinatewise degeneracy）**である。標準的な$p$-ラプラシアンが全勾配 $|Du|$がゼロになる場合にのみ退化するのに対し、この擬似$p$-ラプラシアンは、*いずれか一つの*偏微分$D_j u$がゼロになるたびに楕円性が失われる。これにより、退化集合は${|Du|=0}$よりもはるかに大きなものとなる。さらに、$D_j u = 0$となる点において、二階微分$D_{jj}u$ は非有界になる可能性がある一方で、非退化な方向の微分は制御されたままである。この異方性は、一様楕円性や、勾配が大きくなる場所でのみ退化する性質に依存する標準的な正則性結果（Imbert-SilvestreやMooneyによるものなど）の直接的な適用を妨げる。

手法
著者らは、この特定の異方的な退化に適応した正則性理論を、以下の2つの主要な技術的革新を通じて展開している：

1. 適応型アレクサンドロフ・バクエルマン・プーチュ（ABP）推定：
   標準的な勾配 $Du$を写像する代わりに、証明では写像$G(z) = (|z_i|^p z_i)$上の面積公式を利用する。この選択は、作用素の構造から動機付けられており、標準的な勾配$Du$ではなく、$(|D_i u|^p D_i u)$の像を推定することを目的としている。これにより、著者らは擬似$p$-ラプラシアンの特定のスケーリング特性を扱うことが可能となる。

2. 異方型関数を用いたスライディング放物面法：
   ハーナックの不等式を確立するために、著者らはスライディング放物面法（もともとはCaffarelliとSavinによるもの）を適応させている。標準的な放物面（$|x|^2$）は、座標成分ごとの退化を扱うには不適切である。そこで著者らは、以下の異方的な「放物面」関数を導入する：
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   この関数は、重要な恒等式 $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$ を満たす。

   重大な技術的障壁は、$\phi(x)$ が退化が発生する超平面 $\{z_i = 0\}$ 上で $C^2$ 級ではないことである。これを克服するために、著者らは次元削減の議論を用いている：

   • 接触点の集合を、どの座標方向が退化しているか（$D_i u = 0$）と、どの方向が非退化であるかに基づいて分解する。
   • 特定の微分が消失する点において、分析を、残りの方向が非退化である低次元のスライス（超平面）に制限する。
   • これらのスライス上では、制限された放物面は滑らかであり、面積公式と標準的な測度推定の適用が可能となる。
   • そして、フビニの定理を用いてこれらの結果を集約する。

   同様の戦略が、ハーナックの不等式の証明に不可欠な倍増特性（doubling property）を証明するためのバリア関数 $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ の構築にも適用される。

主要な貢献と結果
本論文は、退化型完全非線形擬似$p$-ラプラシアン方程式の粘性解に関する以下の基本的結果を確立している：

1. アレクサンドロフ・バクエルマン・プーチュ（ABP）推定（定理1.1）：
   著者らは、解 $u$ の上限を境界値とソース項 $f$ の $L^n$ ノルムによって抑えるABP推定を証明する。具体的には：
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   ここで $\Gamma^+(u)$ は上接触集合である。この推定は、写像 $G$ を用いた修正面積公式を用いて導出される。

2. ハーナックの不等式（定理1.2）：
   $f \in L^n$ である非負の解に対して、論文は以下のハーナックの不等式を証明する：
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   この結果は、スライディング異方型放物面から導かれる測度推定（補題4.1）と、異方型バリアから導かれる倍増特性（補題5.1）を組み合わせることによって達成される。

3. ヘルダー正則性（系1.1）：
   ハーナックの不等式の直接的な帰結として、著者らは解の局所的なヘルダー連続性を確立する：
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

意義と範囲
本論文は、非発散形式におけるこの種の退化型完全非線形擬似$p$-ラプラシアン方程式に対する最初の基礎的な正則性理論（ABP推定およびハーナックの不等式）を提供すると主張している。著者らは、発散形式における正則性は（モーザーの反復法により）確立されている一方で、非発散形式の場合は、作用素と標準的な$p$-ラプラシアンとの間の同値性が欠如しているため、特有の課題があることを指摘している。

その意義は、無界な座標成分ごとの退化を扱うことにある。著者らは、勾配 $|Du|$が大きい場合にのみ退化する方程式に関する先行研究は、ここでの退化集合がそれよりもはるかに大きいため、適用できないことを明示している。本論文の貢献は、異方型関数を用いたカスタマイズされたスライディング放物面法と、$D_i u = 0$ における特異点を管理するための次元削減技術の開発である。

この研究は、個々の座標方向に依存して応答が決まる異方性拡散、直交モデル、または層状媒体における輸送現象から生じる偏微分方程式の分析のための基礎的なステップとして位置づけられている。結果は、確立された数学的枠組みを超えた高次の正則性や特定の物理的応用を拡張することではなく、「基礎的な正則性」を確立することとして提示されている。