ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

Résumé Technique : Estimation ABP et Inégalité de Harnack pour une Classe d'Équations de Pseudo-$p$-Laplacien Complètement Non Linéaires Dégénérées

Énoncé du Problème
Cet article étudie la théorie de la régularité de base pour les solutions au sens de Viscosity d'une classe spécifique d'équations de pseudo-$p$-laplacien dégénérées, complètement non linéaires, sous forme non divergente. L'objet principal d'étude est le système d'inégalités :
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
définies dans la boule unité $B_1$, où $p \geq 0$, $0 < \lambda \leq \Lambda$, $f \in L^n(B_1)$, et $[\cdot]$ désigne une matrice diagonale.

La difficulté centrale abordée est la dégénérescence coordonnée inhérente à ces opérateurs. Contrairement au $p$-laplacien standard, qui ne dégénère que lorsque le gradient complet $|Du|$ s'annule, le pseudo-$p$-laplacien perd son ellipticité dès qu'une seule des dérivées partielles $D_j u$ s'annule. Cela crée un ensemble de dégénérescence bien plus vaste que $\{|Du|=0\}$. De plus, aux points où $D_j u = 0$, la dérivée seconde $D_{jj}u$ peut devenir non bornée, tandis que les dérivées dans les directions non dégénérées restent contrôlées. Cette anisotropie empêche l'application directe des résultats de régularité standards (tels que ceux d'Imbert-Silvestre ou de Mooney) qui reposent sur une ellipticité uniforme ou une dégénérescence uniquement là où le gradient est grand.

Méthodologie
Les auteurs développent une théorie de la régularité adaptée à cette dégénérescence anisotrope spécifique grâce à deux innovations techniques majeures :

1. Estimation d'Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) Adaptée :
   Au lieu de cartographier le gradient standard $Du$, la preuve utilise la formule de l'aire sur l'application $G(z) = (|z_i|^p z_i)$. Ce choix est motivé par la structure de l'opérateur, estimant efficacement l'image de $(|D_i u|^p D_i u)$ plutôt que $Du$. Cela permet de traiter les propriétés d'échelle spécifiques du pseudo-$p$-laplacien.

2. Paraboloïde Glissant avec Fonctions Anisotropes :
   Pour établir l'inégalité de Harnack, les auteurs adaptent la méthode du paraboloïde glissant (originellement de Caffarelli et Savin). Les paraboloïdes standards ($|x|^2$) ne parviennent pas à gérer la dégénérescence coordonnée. À la place, les auteurs introduisent une fonction « paraboloïde » anisotrope :
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Cette fonction satisfait une identité cruciale : $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$.

   Un obstacle technique important est que $\phi(x)$ n'est pas $C^2$ sur les hyperplans $\{z_i = 0\}$, là où la dégénérescence se produit. Pour surmonter cela, les auteurs emploient un argument de réduction de dimension :

   • Ils décomposent l'ensemble des points de contact en fonction des directions de coordonnées qui sont dégénérées ($D_i u = 0$) et de celles qui sont non dégénérées.
   • Aux points où des dérivées spécifiques s'annulent, ils restreignent l'analyse à des tranches de dimension inférieure (hyperplans) où les directions restantes sont non dégénérées.
   • Sur ces tranches, le paraboloïde restreint est régulier, permettant l'application de la formule de l'aire et des estimations de mesure standards.
   • Les résultats sont ensuite agrégés en utilisant le théorème de Fubini.

   Une stratégie similaire est appliquée pour construire une fonction barrière $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ afin de prouver la propriété de doublement, essentielle pour l'inégalité de Harnack.

Contributions Clés et Résultats
L'article établit les résultats fondamentaux suivants pour les solutions de viscosité des équations dégénérées :

1. Estimation d'Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) (Théorème 1.1) :
   Les auteurs prouvent une estimation ABP bornant la supr l'extremum de la solution $u$ en termes de ses valeurs aux limites et de la norme $L^n$ du terme source $f$ :
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   où $\Gamma^+(u)$ est l'ensemble de contact supérieur. Cette estimation est dérivée de la formule de l'aire modifiée impliquant l'application $G$.

2. Inégalité de Harnack (Théorème 1.2) :
   Pour les solutions non négatives $u$ avec $f \in L^n$, l'article démontre une inégalité de Harnack :
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Ce résultat est obtenu en combinant l'estimation de mesure (Lemme 4.1) dérivée du paraboloïde anisotrope glissant avec la propriété de doublement (Lemme 5.1) dérivée de la barrière anisotrope.

3. Régularité de Hölder (Corollaire 1.1) :
   Comme conséquence directe de l'inégalité de Harnack, les auteurs établissent la continuité locale de Hölder des solutions :
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

Signification et Portée
L'article affirme fournir la première théorie de la régularité de base (estimations ABP et inégalités de Harnack) pour cette classe spécifique d'équations de pseudo-$p$-laplacien dégénérées en forme non divergente. Les auteurs notent que, bien que la régularité pour la forme divergente soit bien établie (via l'itération de Moser), le cas non divergent présente des défis uniques en raison de l'absence d'équivalence entre l'opérateur et le $p$-laplacien standard dans le cadre non divergent.

La signification réside dans la gestion de la dégénérescence coordonnée non bornée. Les auteurs précisent explicitement que les résultats précédents pour les équations dégénérant uniquement là où $|Du|$ est grand ne s'appliquent pas ici, car l'ensemble de dégénérescence est beaucoup plus vaste. La contribution du papier est le développement d'une méthode de paraboloïde glissant sur mesure utilisant des fonctions anisotropes et une technique de réduction de dimension pour gérer les singularités à $D_i u = 0$.

Ce travail est présenté comme une étape fondamentale dans l'analyse des équations de diffusion anisotrope, des modèles orthotropiques et des phénomènes de transport dans les milieux stratifiés, où la réponse dépend des directions de coordonnées individuelles. Les résultats sont présentés comme établissant la « régularité de base » nécessaire à toute analyse ultérieure, sans chercher à étendre la régularité à des ordres supérieurs ou à des applications physiques spécifiques au-delà du cadre mathématique établi.