ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

Resumo Técnico: Estimativa ABP e Desigualdade de Harnack para uma Classe de Equações Pseudo-$p$-Laplacianas Totalmente Não Lineares Degeneradas

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a teoria da regularidade básica para soluções viscosas de uma classe específica de equações pseudo-$p$-laplacianas totalmente não lineares degeneradas em forma não divergente. O objeto principal de estudo é o sistema de desigualdades:
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
definido na bola unitária $B_1$, onde $p \geq 0$, $0 < \lambda \leq \Lambda$, $f \in L^n(B_1)$, e $[\cdot]$ denota uma matriz diagonal.

A dificuldade central abordada é a degenerescência coordenada inerente a esses operadores. Diferente do $p$-Laplaciano padrão, que degenera apenas quando o gradiente total $|Du|$ se anula, o pseudo-$p$-laplaciano perde elipticidade sempre que qualquer única derivada parcial $D_j u$ se anula. Isso cria um conjunto de degenerescência muito maior do que $\{|Du|=0\}$. Além disso, nos pontos onde $D_j u = 0$, a segunda derivada $D_{jj}u$ pode tornar-se ilimitada, enquanto as derivadas em direções não degeneradas permanecem controladas. Essa anisotropia impede a aplicação direta de resultados de regularidade padrão (como os de Imbert-Silvestre ou Mooney) que dependem de elipticidade uniforme ou de degenerescência apenas onde o gradiente é grande.

Metodologia
Os autores desenvolvem uma teoria de regularidade adaptada a essa degenerescência anisotrópica específica através de duas principais inovações técnicas:

1. Estimativa de Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) Adaptada:
   Em vez de mapear o gradiente padrão $Du$, a prova utiliza a fórmula da área sobre o mapa $G(z) = (|z_i|^p z_i)$. Esta escolha é motivada pela estrutura do operador, estimando efetivamente a imagem de $(|D_i u|^p D_i u)$ em vez de $Du$. Isso permite que os autores lidem com as propriedades de escala específicas do pseudo-$p$-laplaciano.

2. Paraboloide Deslizante com Funções Anisotrópicas:
   Para estabelecer a desigualdade de Harnack, os autores adaptam o método do paraboloide deslizante (originalmente de Caffarelli e Savin). Paraboloides padrão ($|x|^2$) falham em lidar com a degenerescência coordenada. Em vez disso, os autores introduzem uma função "paraboloide" anisotrópica:
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Esta função satisfaz uma identidade crucial: $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$.

   Um obstáculo técnico significativo é que $\phi(x)$ não é $C^2$ nos hiperplanos $\{z_i = 0\}$, onde ocorre a degenerescência. Para superar isso, os autores empregam um argumento de redução dimensional:

   • Eles decompõem o conjunto de pontos de toque com base em quais direções de coordenadas são degeneradas ($D_i u = 0$) e quais são não degeneradas.
   • Nos pontos onde derivadas específicas se anulam, eles restringem a análise a fatias de dimensão inferior (hiperplanos) onde as direções restantes são não degeneradas.
   • Nestas fatias, o paraboloide restrito é suave, permitindo a aplicação da fórmula da área e das estimativas de medida padrão.
   • Os resultados são então agregados usando o teorema de Fubini.

   Uma estratégia semelhante é aplicada para construir uma função barreira $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ para provar a propriedade de duplicação, que é essencial para a desigualdade de Harnack.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo estabelece os seguintes resultados fundamentais para as equações degeneradas:

1. Estimativa de Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) (Teorema 1.1):
   Os autores provam uma estimativa ABP limitando o supremo da solução $u$ em termos de seus valores de contorno e da norma $L^n$ do termo fonte $f$. Especificamente:
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   onde $\Gamma^+(u)$ é o conjunto de contato superior. Esta estimativa é derivada usando a fórmula da área modificada envolvendo o mapa $G$.

2. Desigualdade de Harnack (Teorema 1.2):
   Para soluções não negativas $u$ com $f \in L^n$, o artigo prova uma desigualdade de Harnack:
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Este resultado é alcançado combinando a estimativa de medida (Lema 4.1) derivada do paraboloide anisotrópico deslizante com a propriedade de duplicação (Lema 5.1) derivada da barreira anisotrópica.

3. Regularidade de Hölder (Corolário 1.1):
   Como consequência direta da desigualdade de Harnack, os autores estabelecem a continuidade local de Hölder das soluções:
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

Significância e Escopo
O artigo afirma fornecer a primeira teoria de regularidade básica (estimativas ABP e desigualdades de Harnack) para esta classe específica de equações pseudo-$p$-laplacianas degeneradas em forma não divergente. Os autores observam que, embora a regularidade para a forma divergente seja bem estabelecida (via iteração de Moser), o caso não divergente apresenta desafios únicos devido à falta de equivalência entre o operador e o $p$-laplaciano padrão no cenário não divergente.

A significância reside em lidar com a degenerescência coordenada ilimitada. Os autores afirmam explicitamente que resultados anteriores para equações que degeneram apenas onde $|Du|$ é grande não se aplicam aqui porque o conjunto de degenerescência é muito maior. A contribuição do artigo é o desenvolvimento de um método de paraboloide deslizante customizado usando funções anisotrópicas e uma técnica de redução dimensional para gerenciar as singularidades em $D_i u = 0$.

O trabalho é enquadrado como um passo fundamental na análise de equações diferenciais parciais que surgem em difusão anisotrópica, modelos ortotrópicos e fenômenos de transporte em meios estratificados, onde a resposta depende de direções de coordenadas individuais. Os resultados são apresentados como o estabelecimento da "regularidade básica" necessária para análises posteriores, sem estender para regularidade de ordem superior ou aplicações físicas específicas além do arcabouço matemático estabelecido.