ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

Sintesi Tecnica: Stima ABP e Disuguaglianza di Harnack per una Classe di Equazioni Pseudo-$p$-Laplaciane Completamente Non Lineari Degeneri

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga la teoria della regolarità di base per le soluzioni in senso viscoso di una specifica classe di equazioni pseudo-$p$-laplaciane degenerate in forma non divergente. L'oggetto principale di studio è il sistema di disuguaglianze:
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
definito nella palla unitaria $B_1$, dove $p \geq 0$, $0 < \lambda \leq \Lambda$, $f \in L^n(B_1)$, e $[\cdot]$ denota una matrice diagonale.

La difficoltà centrale affrontata è la degenerazione coordinatewise (per coordinate) inerente a questi operatori. A differenza del classico $p$-Laplaciano, che degenera solo quando il gradiente completo $|Du|$ svanisce, il pseudo-$p$-Laplaciano perde ellitticità ogni volta che una singola derivata parziale $D_j u$ svanisce. Ciò crea un insieme di degenerazione molto più grande di $\{|Du|=0\}$. Inoltre, nei punti in cui $D_j u = 0$, la derivata seconda $D_{jj}u$ può diventare illimitata, mentre le derivate nelle direzioni non degenerate rimangono controllate. Questa anisotropia impedisce l'applicazione diretta dei risultati standard di regolarità (come quelli di Imbert-Silvestre o Mooney) che si basano su ellitticità uniforme o degenerazione solo dove il gradiente è grande.

Metodologia
Gli autori sviluppano una teoria della regolarità adattata a questa specifica degenerazione anisotropa attraverso due innovazioni tecniche principali:

1. Stima di Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) Adattata:
   Inveve di mappare il gradiente standard $Du$, la dimostrazione utilizza la formula dell'area sulla mappa $G(z) = (|z_i|^p z_i)$. Questa scelta è motivata dalla struttura dell'operatore, stimando efficacemente l'immagine di $(|D_i u|^p D_i u)$ piuttosto che di $Du$. Ciò consente agli autori di gestire le specifiche proprietà di scala del pseudo-$p$-Laplaciano.

2. Paraboloide Scivolante con Funzioni Anisotrope:
   Per stabilire la disuguaglianza di Harnack, gli autori adattano il metodo del paraboloide scivolante (originariamente di Caffarelli e Savin). I paraboli standard ($|x|^2$) falliscono nel gestire la degenerazione coordinatewise. Invece, gli autori introducono una funzione "paraboloide" anisotropa:
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Questa funzione soddisfa un'identità cruciale: $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$.

   Un ostacolo tecnico significativo è che $\phi(x)$ non è $C^2$ sugli iperpiani $\{z_i = 0\}$, dove avviene la degenerazione. Per superare questo punto, gli autori impiegano un argomento di riduzione dimensionale:

   • Decompongono l'insieme dei punti di contatto in base a quali direzioni di coordinata sono degenerate ($D_i u = 0$) e quali sono non degenerate.
   • Nei punti in cui specifiche derivate svaniscono, restringono l'analisi a fette di dimensione inferiore (iperpiani) dove le restanti direzioni sono non degenerate.
   • Su queste fette, il paraboloide ristretto è regolare, permettendo l'applicazione della formula dell'area e delle normali stime di misura.
   • I risultati vengono poi aggregati utilizzando il teorema di Fubini.

   Una strategia simile viene applicata per costruire una funzione barriera $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ per dimostrare la proprietà di raddoppio (doubling property), essenziale per la disuguaglianza di Harnack.

Contributi Chiave e Risultati
Il articolo stabilisce i seguenti risultati fondamentali per le soluzioni viscose delle equazioni degenerate:

1. Stima di Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) (Teorema 1.1):
   Gli autori dimostrano una stima ABP che limita il supremo della soluzione $u$ in termini dei suoi valori al bordo e della norma $L^n$ del termine sorgente $f$. Nello specifico:
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   dove $\Gamma^+(u)$ è l'insieme di contatto superiore. Questa stima è derivata dalla formula dell'area modificata coinvolgendo la mappa $G$.

2. Disuguaglianza di Harnack (Teorema 1.2):
   Per soluzioni non negative $u$ con $f \in L^n$, il lavoro dimostra una disuguaglianza di Harnack:
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Questo risultato è ottenuto combinando la stima di misura (Lemma 4.1) derivata dal paraboloide anisotropo scivolante con la proprietà di raddoppio (Lemma 5.1) derivata dalla barriera anisotropa.

3. Regolarità Hölder (Corollario 1.1):
   Come diretta conseguenza della disuguaglianza di Harnack, gli autori stabiliscono la continuità locale di tipo Hölder delle soluzioni:
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

Significato e Ambito
L'articolo sostiene di fornire la prima teoria della regolarità di base (stime ABP e disuguaglianze di Harnack) per questa specifica classe di equazioni pseudo-$p$-laplaciane degenerate in forma non divergente. Gli autori osservano che, mentre la regolarità per la forma divergente è ben stabilita (tramite iterazione di Moser), il caso non divergente presenta sfide uniche a causa della mancanza di equivalenza tra l'operatore e il classico $p$-Laplaciano nel contesto non divergente.

La significatività risiede nel gestire la degenerazione coordinatewise illimitata. Gli autori dichiarano esplicitamente che i risultati precedenti per equazioni che degenerano solo dove $|Du|$ è grande non sono applicabili qui, poiché l'insieme di degenerazione è molto più vasto. Il contributo del lavoro consiste nello sviluppo di un metodo del paraboloide scivolante su misura, utilizzando funzioni anisotrope e una tecnica di riduzione dimensionale per gestire le singolarità in $D_i u = 0$.

Il lavoro è inquadrato come un passo fondamentale nell'analisi delle equazioni differenziali alle derivate parziali derivanti dalla diffusione anisotropa, dai modelli ortotropici e dai fenomeni di trasporto in mezzi stratificati, dove la risposta dipende dalle singole direzioni di coordinata. I risultati sono presentati come l'instaurazione della "regolarità di base" necessaria per analisi ulteriori, senza estendersi alla regolarità di ordine superiore o a specifiche applicazioni fisiche oltre il quadro matematico stabilito.