High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Technische Zusammenfassung: Variance-stabiler Transport mit Tracern höherer Ordnung und dynamischen Prozessen niedrigerer Ordnung mit Energieerhaltung

Problemstellung
Die numerische Modellierung geophysikalischer Fluiddynamik erfordert häufig einen Kompromiss zwischen Recheneffizienz und physikalischer Genauigkeit. Numerische Schemata niedriger Ordnung (Finite-Differenzen-, Finite-Volumen- und Finite-Elemente-Methoden) werden häufig für implizite atmosphärische Löser eingesetzt, da ihre geringeren Konditionszahlen eine schnellere Konvergenz und Matrixzusammenstellung ermöglichen. Diese Schemata verlassen sich jedoch typischerweise auf Upwinding, um hochfrequente Artefakte zu unterdrücken, was zu übermäßiger numerischer Dissipation führt, die die Auflösung turbulenter Merkmale verschlechtert. Umgekehrt sind Methoden höherer Ordnung (wie die Diskontinuierliche Galerkin-Methode) effektiv für die Auflösung inertialer Bewegungen und den Aufbau genauer numerischer Flüsse, sind aber rechenintensiv und verfügen oft nicht über die robuste Stabilität impliziter Löser niedrigerer Ordnung. Darüber hinaus kämpfen Standard-Transportverfahren höherer Ordnung oft damit, die Tracer-Variance (eine numerische Entropie des Systems) ohne Einführung von Instabilität zu erhalten, während Schemata niedrigerer Ordnung häufig versagen, die für die langfristige Stabilität in nicht-kanonischen Hamiltonschen Systemen erforderliche energieerhaltende Struktur zu bewahren.

Methodik
Die Autoren schlagen einen hybriden numerischen Rahmen vor, der einen Löser mit gemischten Finite-Elementen niedrigerer Ordnung für die Dynamik mit einer Diskontinuierlichen Galerkin-Methode (DG) höherer Ordnung für den Materialtransport thermodynamischer Tracer koppelt, speziell im Kontext der thermischen Flachwassergleichungen.

• Dynamik niedrigerer Ordnung: Der Dynamiklöser verwendet eine Formulierung mit gemischten Finite-Elementen (niedrigster Polynomgrad), die die energieerhaltende Struktur der Gleichungen bewahrt. Dieser Löser arbeitet auf einem groben Gitter und berechnet prognostische Variablen für Geschwindigkeit ($u$), Tiefe ($h$) und tiefengewichteten Auftrieb ($S$).
• Transport höherer Ordnung: Der Auftriebstransport wird durch ein DG-Schema höherer Ordnung auf einem verschachtelten, verfeinerten Gitter behandelt. Der Auftrieb wird als Materialvariable ($s$) und nicht als Flussvariable ($S=sh$) behandelt. Das Schema verwendet eine schiefsymmetrische Expansion des Advektionsoperators auf kontinuierlicher Ebene, um sicherzustellen, dass die diskrete Formulierung nachweislich die Tracer-Variance erhält.
• Kopplungsstrategie: Die beiden Löser werden über eine verschachtelte Hierarchie von Gittern gekoppelt. Das Gitter niedrigerer Ordnung ist in das Transportgitter höherer Ordnung eingebettet, sodass die Zellzentren der Elemente niedrigerer Ordnung mit den Gauss-Legendre-Quadraturpunkten der Elemente höherer Ordnung zusammenfallen. Dies erzeugt eine 1:1-Zuordnung zwischen den Freiheitsgraden.
  • Das Auftriebsfeld höherer Ordnung wird zu Beginn jedes Zeitschritts aus den prognostischen Variablen niedrigerer Ordnung diagnostiziert.
  • Die Transportgleichung höherer Ordnung wird unter Verwendung der Massenflüsse und Tiefenfelder niedrigerer Ordnung (gemittelt über den Zeitschritt) fortgeschritten.
  • Der resultierende Auftrieb höherer Ordnung wird zurück in den Raum niedrigerer Ordnung projiziert, um den Dynamiklöser zu aktualisieren.
• Erhaltungseigenschaften:
  • Energie: Die Kopplung erhält die Antisymmetrie des Auftriebstransports in Flussform und des Druckgradienten und gewährleistet so die diskrete Energieerhaltung für die Dynamik niedrigerer Ordnung.
  • Tracer-Variance: Das Transportverfahren höherer Ordnung ist so konzipiert, dass es die Tracer-Variance im Raum erhält. Um Stabilität zu gewährleisten und Gitterrauschen durch nichtlineare Aliasing zu verhindern, wird ein Upwinding-Term aufgenommen, der eine kontrollierte Dissipation der Tracer-Variance (Dämpfung) statt eines unbeschränkten Wachstums ermöglicht.
• Zeitintegration: Das System verwendet einen steif-stabilen Runge-Kutta-Integrator dritter Ordnung (SSP-RK3) für den Transportschritt und einen Quasi-Newton-Ansatz (gelöst via GMRES) für die gekoppelte Dynamik.

Hauptbeiträge

1. Hybride Formulierung: Die Arbeit stellt eine konsistente Formulierung vor, die energieerhaltende Dynamik niedrigerer Ordnung mit Tracer-variance-erhaltendem Transport höherer Ordnung harmonisiert.
2. Transport in Materialform: Im Gegensatz zu früheren Tracer-variance-erhaltenden Formulierungen, die auf Flussformen basieren, drückt diese Arbeit den diskreten Advektionsoperator in Materialform aus, um effektiv mit der Flussform-Dynamik niedrigerer Ordnung zu koppeln.
3. Gitterhierarchie: Die Implementierung einer spezifischen Gitterhierarchie, bei der die Zellzentren niedrigerer Ordnung mit den Gauss-Legendre-Punkten höherer Ordnung übereinstimmen, ermöglicht eine direkte, effiziente Kopplung ohne komplexe Interpolationsfehler.
4. Stabilitätsmechanismus: Die Methode zeigt, dass die Verwendung von Transport höherer Ordnung mit Upwinding eine stabile Lösung liefert, die reichhaltigere turbulente Strukturen erhält als rein niedrige Ordnungsverfahren, ohne die übermäßige Dissipation, die für Upwinding niedriger Ordnung typisch ist.

Ergebnisse
Die Methode wurde durch drei Standardtestfälle validiert:

1. Rotation des starren Körpers: Das DG-Schema höherer Ordnung zeigte eine Konvergenz 4. Ordnung für aufgewindete Flüsse und 3. Ordnung für zentrierte Flüsse. Die Massenerhaltung war exakt, und die Fehler bei der Tracer-Variance-Erhaltung nahmen mit der Auflösung ab, was die Stabilität des Schemas bestätigte.
2. Thermogeostrophisches Gleichgewicht: In einem stationären Test zeigte das vollständige gekoppelte System eine Konvergenz zweiter Ordnung für alle Variablen, begrenzt durch die Dynamik niedrigerer Ordnung. Das Schema behielt die Massenerhaltung, die tiefengewichtete Auftriebserhaltung und die Energieerhaltung bis auf Maschinengenauigkeit bei, ohne langfristige Drift in der relativen Vortizität.
3. Thermische Instabilität (nichtlineare Turbulenz): In einem hochgradig nichtlinearen Regime erzeugte das Transportverfahren höherer Ordnung mit Upwinding stabile Lösungen, die feinskalige Merkmale erhielten.
   • Vergleich: Rein zentrierte Flüsse niedrigerer Ordnung wurden aufgrund unkontrollierten Gitterrauschens durch Aliasing instabil. Rein aufgewindete Flüsse niedrigerer Ordnung waren übermäßig diffusiv und verwischten turbulente Strukturen.
   • Hybride Leistung: Das gekoppelte Schema höherer/niedrigerer Ordnung behielt die Stabilität bei (die Tracer-Variance nahm moderat ab) und bewahrte gleichzeitig die Fülle der turbulenten Lösung und übertraf dabei beide reinen Alternativen niedrigerer Ordnung.

Bedeutung und Behauptungen
Die Autoren behaupten, dass dieser Ansatz die Lücke zwischen der Recheneffizienz impliziter Löser niedrigerer Ordnung und der physikalischen Genauigkeit von Transportverfahren höherer Ordnung erfolgreich überbrückt. Obwohl die Gesamtgenauigkeit des Systems formal durch die Dynamik niedrigerer Ordnung auf die zweite Ordnung begrenzt ist, verbessert die Verwendung von Tracer-variance-erhaltendem Transport höherer Ordnung die Modellstabilität und die Erhaltung turbulenter Lösungen erheblich.

Die Arbeit vermerkt bescheiden, dass die aktuelle Implementierung einen GMRES-Löser verwendet, der im Vergleich zu geometrischen Mehrgitterverfahren möglicherweise nicht für sehr große parallele Domänen effizient skaliert, und schlägt dies als potenziellen Bereich für zukünftige Erweiterungen vor. Die Autoren behaupten, dass die Kopplungsstrategie auf andere nicht-kanonische Hamiltonsche Systeme mit thermodynamischen Tracern verallgemeinert werden kann, wie etwa die kompressiblen Euler-Gleichungen für trockene und feuchte Atmosphären. Die Hauptleistung besteht darin zu zeigen, dass Energieerhaltung und Tracer-Variance-Stabilität in einem gekoppelten System gleichzeitig aufrechterhalten werden können, wodurch die übermäßige Dissipation oder Instabilität verhindert wird, die oft in traditionellen atmosphärischen Modellen niedrigerer Ordnung zu finden ist.