High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Sintesi Tecnica: Trasporto Stabile della Varianza del Tracciatore di Alto Ordine con Dinamica Conservativa dell'Energia di Basso Ordine

Enunciato del Problema
La modellazione numerica della dinamica dei fluidi geofisici richiede spesso un compromesso tra efficienza computazionale e fedeltà fisica. Gli schemi numerici di basso ordine (differenze finite, volumi finiti ed elementi finiti) sono frequentemente impiegati per i solutori impliciti atmosferici poiché i loro numeri di condizione inferiori facilitano una convergenza più rapida e l'assemblaggio delle matrici. Tuttavia, questi schemi si basano tipicamente sull'upwinding per sopprimere gli artefatti ad alta frequenza, portando a una dissipazione numerica eccessiva che degrada la risoluzione delle caratteristiche turbolente. Al contrario, i metodi di alto ordine (come il Discontinuous Galerkin) sono efficaci per risolvere i moti inerziali e costruire flussi numerici accurati, ma sono computazionalmente costosi e spesso mancano delle proprietà di stabilità robusta dei solutori impliciti di basso ordine. Inoltre, gli schemi di trasporto di alto ordine standard spesso faticano a conservare la varianza del tracciatore (un'entropia numerica del sistema) senza introdurre instabilità, mentre gli schemi di basso ordine spesso non riescono a preservare la struttura conservativa dell'energia richiesta per la stabilità a lungo termine nei sistemi hamiltoniani non canonici.

Metodologia
Gli autori propongono un framework numerico ibrido che accoppia un solutore di elementi finiti misti di basso ordine per la dinamica con un metodo Discontinuous Galerkin (DG) di alto ordine per il trasporto materiale dei traccianti termodinamici, specificamente nel contesto delle equazioni delle acque poco profonde termiche.

• Dinamica di Basso Ordine: Il solutore dinamico utilizza una formulazione di elementi finiti misti (ordine polinomiale più basso) che preserva la struttura conservativa dell'energia delle equazioni. Questo solutore opera su una mesh grossolana e calcola le variabili prognostiche per la velocità ($u$), la profondità ($h$) e la galleggiabilità ponderata per la profondità ($S$).
• Trasporto di Alto Ordine: Il trasporto della galleggiabilità è gestito da uno schema DG di alto ordine che opera su una mesh nidificata e raffinata. La galleggiabilità è trattata come una variabile materiale ($s$) piuttosto che come una variabile di flusso ($S=sh$). Lo schema impiega un'espansione antisimmetrica dell'operatore di avvezione a livello continuo per garantire che la formulazione discreta possa conservare provabilmente la varianza del tracciatore.
• Strategia di Accoppiamento: I due solutori sono accoppiati tramite una gerarchia nidificata di mesh. La mesh di basso ordine è incorporata all'interno della mesh di trasporto di alto ordine in modo tale che i centri delle celle degli elementi di basso ordine coincidano con i punti di quadratura di Gauss-Legendre degli elementi di alto ordine. Ciò crea una mappatura 1:1 tra i gradi di libertà.
  • Il campo di galleggiabilità di alto ordine è diagnosticato dalle variabili prognostiche di basso ordine all'inizio di ogni passo temporale.
  • L'equazione di trasporto di alto ordine è avanzata utilizzando i campi di flusso di massa e profondità di basso ordine (mediati sul passo temporale).
  • La galleggiabilità risultante di alto ordine è proiettata indietro nello spazio di basso ordine per aggiornare il solutore dinamico.
• Proprietà di Conservazione:
  • Energia: L'accoppiamento preserva l'antisimmetria del trasporto di galleggiabilità in forma di flusso e del gradiente di pressione, garantendo la conservazione discreta dell'energia per la dinamica di basso ordine.
  • Varianza del Tracciatore: Lo schema di trasporto di alto ordine è progettato per conservare la varianza del tracciatore nello spazio. Per garantire la stabilità e prevenire il rumore su scala di griglia derivante dall'aliasing non lineare, è incluso un termine di upwinding, che consente una dissipazione controllata della varianza del tracciatore (smorzamento) piuttosto che una crescita illimitata.
• Integrazione Temporale: Il sistema utilizza un integratore Runge-Kutta di terzo ordine stabilmente rigido (SSP-RK3) per il passo di trasporto e un approccio quasi-Newton (risolto tramite GMRES) per la dinamica accoppiata.

Contributi Chiave

1. Formulazione Ibrida: Il documento introduce una formulazione coerente che armonizza la dinamica conservativa dell'energia di basso ordine con il trasporto conservativo della varianza del tracciatore di alto ordine.
2. Trasporto in Forma Materiale: A differenza delle precedenti formulazioni conservanti la varianza del tracciatore che si basano su forme di flusso, questo lavoro esprime l'operatore di avvezione discreto in forma materiale per accoppiarsi efficacemente con la dinamica di flusso di basso ordine.
3. Gerarchia di Mesh: L'implementazione di una specifica gerarchia di mesh in cui i centri delle celle di basso ordine si allineano con i punti di Gauss-Legendre di alto ordine facilita un accoppiamento diretto ed efficiente senza errori di interpolazione complessi.
4. Meccanismo di Stabilità: Il metodo dimostra che l'uso del trasporto di alto ordine con upwinding fornisce una soluzione stabile che preserva strutture turbolente più ricche rispetto ai metodi puramente di basso ordine, senza la dissipazione eccessiva tipica dell'upwinding di basso ordine.

Risultati
Il metodo è stato validato attraverso tre casi di test standard:

1. Rotazione di Corpo Rigido: Lo schema DG di alto ordine ha dimostrato una convergenza del 4° ordine per i flussi upwind e del 3° ordine per i flussi centrati. La conservazione della massa era esatta e gli errori di conservazione della varianza del tracciatore decadevano con la risoluzione, confermando la stabilità dello schema.
2. Bilancio Termogeostrofico: In un test di stato stazionario, l'intero sistema accoppiato ha mostrato una convergenza del secondo ordine per tutte le variabili, limitata dalla dinamica di basso ordine. Lo schema ha mantenuto la conservazione della massa, della galleggiabilità ponderata per la profondità e dell'energia con precisione di macchina, senza deriva a lungo termine nella vorticità relativa.
3. Instabilità Termica (Turbolenza Non Lineare): In un regime altamente non lineare, lo schema di trasporto di alto ordine con upwinding ha prodotto soluzioni stabili che preservavano le caratteristiche su scala fine.
   • Confronto: I flussi centrati puramente di basso ordine sono diventati instabili a causa dell'aliasing su scala di griglia non controllato. I flussi upwind puramente di basso ordine erano eccessivamente diffusi, sfocando le strutture turbolente.
   • Prestazioni Ibride: Lo schema accoppiato di alto/basso ordine ha mantenuto la stabilità (la varianza del tracciatore è decaduta moderatamente) preservando al contempo la ricchezza della soluzione turbolenta, superando entrambe le alternative puramente di basso ordine.

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano che questo approccio colma con successo il divario tra l'efficienza computazionale dei solutori impliciti di basso ordine e la fedeltà fisica degli schemi di trasporto di alto ordine. Sebbene l'accuratezza complessiva del sistema sia formalmente limitata al secondo ordine dalla dinamica di basso ordine, l'uso di un trasporto conservante la varianza del tracciatore di alto ordine migliora significativamente la stabilità del modello e la preservazione delle soluzioni turbolente.

Il documento nota modestamente che l'attuale implementazione utilizza un solutore GMRES che potrebbe non scalare efficientemente per domini paralleli molto grandi rispetto ai metodi multigrid geometrici, suggerendo questo come un'area potenziale per un'estensione futura. Gli autori affermano che la strategia di accoppiamento è generalizzabile ad altri sistemi hamiltoniani non canonici che coinvolgono traccianti termodinamici, come le equazioni di Eulero comprimibili per atmosfere secche e umide. Il principale risultato è dimostrare che la conservazione dell'energia e la stabilità della varianza del tracciatore possono essere mantenute simultaneamente in un sistema accoppiato, prevenendo la dissipazione eccessiva o l'instabilità spesso riscontrate nei modelli atmosferici tradizionali di basso ordine.