High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Resumo Técnico: Transporte Estável de Variância de Rastreador de Alta Ordem com Dinâmica Conservadora de Energia de Baixa Ordem

Declaração do Problema
A modelagem numérica da dinâmica de fluidos geofísicos frequentemente exige um compromisso entre eficiência computacional e fidelidade física. Esquemas numéricos de baixa ordem (diferenças finitas, volumes finitos e elementos finitos) são frequentemente empregados em solvers atmosféricos implícitos porque seus números de condição mais baixos facilitam a convergência mais rápida e a montagem de matrizes. No entanto, esses esquemas geralmente dependem de upwinding para suprimir artefatos de alta frequência, levando a uma dissipação numérica excessiva que degrada a resolução de características turbulentas. Por outro lado, métodos de alta ordem (como o Galerkin Descontínuo) são eficazes para resolver movimentos inerciais e construir fluxos numéricos precisos, mas são computacionalmente caros e frequentemente carecem das propriedades de estabilidade robusta dos solvers implícitos de baixa ordem. Além disso, esquemas de transporte de alta ordem padrão frequentemente lutam para conservar a variância do rastreador (uma entropia numérica do sistema) sem introduzir instabilidade, enquanto esquemas de baixa ordem frequentemente falham em preservar a estrutura conservadora de energia necessária para estabilidade de longo prazo em sistemas hamiltonianos não canônicos.

Metodologia
Os autores propõem um framework numérico híbrido que acopla um solver de elementos finitos mistos de baixa ordem para dinâmica com um método de Galerkin Descontínuo (DG) de alta ordem para o transporte material de rastreadores termodinâmicos, especificamente no contexto das equações de águas rasas térmicas.

• Dinâmica de Baixa Ordem: O solver de dinâmica utiliza uma formulação de elementos finitos mistos (ordem polinomial mais baixa) que preserva a estrutura conservadora de energia das equações. Este solver opera em uma malha grosseira e calcula variáveis prognósticas para velocidade ($u$), profundidade ($h$) e flutuabilidade ponderada pela profundidade ($S$).
• Transporte de Alta Ordem: O transporte de flutuabilidade é tratado por um esquema DG de alta ordem operando em uma malha aninhada e refinada. A flutuabilidade é tratada como uma variável material ($s$) em vez de uma variável de fluxo ($S=sh$). O esquema emprega uma expansão antissimétrica do operador de advecção no nível contínuo para garantir que a formulação discreta possa conservar provadamente a variância do rastreador.
• Estratégia de Acoplamento: Os dois solvers são acoplados por meio de uma hierarquia aninhada de malhas. A malha de baixa ordem é embutida dentro da malha de transporte de alta ordem, de modo que os centros das células dos elementos de baixa ordem coincidam com os pontos de quadratura de Gauss-Legendre dos elementos de alta ordem. Isso cria um mapeamento 1:1 entre os graus de liberdade.
  • O campo de flutuabilidade de alta ordem é diagnosticado a partir das variáveis prognósticas de baixa ordem no início de cada passo de tempo.
  • A equação de transporte de alta ordem é avançada usando os campos de fluxo de massa e profundidade de baixa ordem (média sobre o passo de tempo).
  • A flutuabilidade de alta ordem resultante é projetada de volta para o espaço de baixa ordem para atualizar o solver de dinâmica.
• Propriedades de Conservação:
  • Energia: O acoplamento preserva a antissimetria do transporte de flutuabilidade na forma de fluxo e do gradiente de pressão, garantindo conservação de energia discreta para a dinâmica de baixa ordem.
  • Variância do Rastreador: O esquema de transporte de alta ordem é projetado para conservar a variância do rastreador no espaço. Para garantir estabilidade e prevenir ruído em escala de grade decorrente de aliasing não linear, um termo de upwinding é incluído, o que permite uma dissipação controlada da variância do rastreador (amortecimento) em vez de crescimento ilimitado.
• Integração Temporal: O sistema utiliza um integrador Runge-Kutta de terceira ordem rigidamente estável (SSP-RK3) para o passo de transporte e uma abordagem quasi-Newton (resolvida via GMRES) para a dinâmica acoplada.

Contribuições Principais

1. Formulação Híbrida: O artigo introduz uma formulação consistente que harmoniza a dinâmica conservadora de energia de baixa ordem com o transporte conservador de variância de rastreador de alta ordem.
2. Transporte na Forma Material: Diferentemente de formulações anteriores de conservação de variância de rastreador que dependem de formas de fluxo, este trabalho expressa o operador de advecção discreto na forma material para acoplar efetivamente com a dinâmica de baixa ordem na forma de fluxo.
3. Hierarquia de Malhas: A implementação de uma hierarquia de malhas específica onde os centros das células de baixa ordem se alinham com os pontos de Gauss-Legendre de alta ordem facilita um acoplamento direto e eficiente sem erros complexos de interpolação.
4. Mecanismo de Estabilidade: O método demonstra que o uso de transporte de alta ordem com upwinding fornece uma solução estável que preserva estruturas turbulentas mais ricas em comparação com métodos puramente de baixa ordem, sem a dissipação excessiva típica do upwinding de baixa ordem.

Resultados
O método foi validado através de três casos de teste padrão:

1. Rotação de Corpo Rígido: O esquema DG de alta ordem demonstrou convergência de 4ª ordem para fluxos com upwinding e de 3ª ordem para fluxos centrados. A conservação de massa foi exata, e os erros de conservação de variância do rastreador decaíram com a resolução, confirmando a estabilidade do esquema.
2. Equilíbrio Termogeostrofico: Em um teste de estado estacionário, o sistema completo acoplado mostrou convergência de segunda ordem para todas as variáveis, limitada pela dinâmica de baixa ordem. O esquema manteve conservação de massa, flutuabilidade ponderada pela profundidade e energia com precisão de máquina, sem deriva de longo prazo na vorticidade relativa.
3. Instabilidade Térmica (Turbulência Não Linear): Em um regime altamente não linear, o esquema de transporte de alta ordem com upwinding produziu soluções estáveis que preservaram características de pequena escala.
   • Comparação: Fluxos centrados puramente de baixa ordem tornaram-se instáveis devido a aliasing em escala de grade descontrolado. Fluxos com upwinding puramente de baixa ordem foram excessivamente difusivos, borrando estruturas turbulentas.
   • Desempenho Híbrido: O esquema acoplado de alta/baixa ordem manteve a estabilidade (a variância do rastreador decaiu moderadamente) enquanto preservava a riqueza da solução turbulenta, superando ambas as alternativas puramente de baixa ordem.

Significado e Alegações
Os autores afirmam que esta abordagem conecta com sucesso a lacuna entre a eficiência computacional dos solvers implícitos de baixa ordem e a fidelidade física dos esquemas de transporte de alta ordem. Embora a precisão geral do sistema seja formalmente limitada a segunda ordem pela dinâmica de baixa ordem, o uso de transporte conservador de variância de rastreador de alta ordem melhora significativamente a estabilidade do modelo e a preservação de soluções turbulentas.

O artigo nota modestamente que a implementação atual utiliza um solver GMRES que pode não escalar eficientemente para domínios paralelos muito grandes em comparação com métodos de multigrid geométrico, sugerindo isso como uma área potencial para extensão futura. Os autores afirmam que a estratégia de acoplamento é generalizável para outros sistemas hamiltonianos não canônicos envolvendo rastreadores termodinâmicos, como as equações de Euler compressíveis para atmosferas secas e úmidas. A principal conquista é demonstrar que a conservação de energia e a estabilidade da variância do rastreador podem ser mantidas simultaneamente em um sistema acoplado, prevenindo a dissipação excessiva ou a instabilidade frequentemente encontradas em modelos atmosféricos tradicionais de baixa ordem.