High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Résumé Technique : Transport Stable de la Variance des Traceurs d'Ordre Élevé avec Dynamique Conservant l'Énergie d'Ordre Inférieur

Énoncé du Problème
La modélisation numérique de la dynamique des fluides géophysiques nécessite souvent un compromis entre l'efficacité computationnelle et la fidélité physique. Les schémas numériques d'ordre inférieur (différences finies, volumes finis et éléments finis) sont fréquemment employés pour les solveurs atmosphériques implicites car leurs nombres de condition plus faibles facilitent une convergence plus rapide et l'assemblage des matrices. Cependant, ces schémas reposent généralement sur un upwinding pour supprimer les artefacts haute fréquence, entraînant une dissipation numérique excessive qui dégrade la résolution des caractéristiques turbulentes. À l'inverse, les méthodes d'ordre élevé (telles que les Galerkin discontinus) sont efficaces pour résoudre les mouvements inertiels et construire des flux numériques précis, mais elles sont coûteuses en calcul et manquent souvent des propriétés de stabilité robuste des solveurs implicites d'ordre inférieur. De plus, les schémas de transport d'ordre élevé standard ont souvent du mal à conserver la variance des traceurs (une entropie numérique du système) sans introduire d'instabilité, tandis que les schémas d'ordre inférieur échouent souvent à préserver la structure conservant l'énergie requise pour la stabilité à long terme dans les systèmes hamiltoniens non canoniques.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre numérique hybride qui couple un solveur d'éléments finis mixtes d'ordre inférieur pour la dynamique avec une méthode Galerkin discontinue (DG) d'ordre élevé pour le transport matériel des traceurs thermodynamiques, spécifiquement dans le contexte des équations de l'eau peu profonde thermique.

• Dynamique d'Ordre Inférieur : Le solveur de dynamique utilise une formulation d'éléments finis mixtes (ordre polynomial le plus bas) qui préserve la structure conservant l'énergie des équations. Ce solveur opère sur un maillage grossier et calcule les variables pronostiques pour la vitesse ($u$), la profondeur ($h$) et la flottabilité pondérée par la profondeur ($S$).
• Transport d'Ordre Élevé : Le transport de la flottabilité est géré par un schéma DG d'ordre élevé opérant sur un maillage imbriqué et raffiné. La flottabilité est traitée comme une variable matérielle ($s$) plutôt que comme une variable de flux ($S=sh$). Le schéma emploie une expansion antisymétrique de l'opérateur d'advection au niveau continu pour garantir que la formulation discrète peut conserver la variance des traceurs de manière prouvée.
• Stratégie de Couplage : Les deux solveurs sont couplés via une hiérarchie imbriquée de maillages. Le maillage d'ordre inférieur est intégré dans le maillage de transport d'ordre élevé de telle sorte que les centres de cellules des éléments d'ordre inférieur coïncident avec les points de quadrature de Gauss-Legendre des éléments d'ordre élevé. Cela crée une correspondance 1:1 entre les degrés de liberté.
  • Le champ de flottabilité d'ordre élevé est diagnostiqué à partir des variables pronostiques d'ordre inférieur au début de chaque pas de temps.
  • L'équation de transport d'ordre élevé est avancée en utilisant les champs de flux de masse et de profondeur d'ordre inférieur (moyennés sur le pas de temps).
  • La flottabilité d'ordre élevé résultante est projetée de nouveau dans l'espace d'ordre inférieur pour mettre à jour le solveur de dynamique.
• Propriétés de Conservation :
  • Énergie : Le couplage préserve l'antisymétrie du transport de flottabilité sous forme de flux et du gradient de pression, assurant la conservation discrète de l'énergie pour la dynamique d'ordre inférieur.
  • Variance des Traceurs : Le schéma de transport d'ordre élevé est conçu pour conserver la variance des traceurs dans l'espace. Pour assurer la stabilité et empêcher le bruit à l'échelle de la grille de l'aliasing non linéaire, un terme d'upwinding est inclus, ce qui permet une dissipation contrôlée de la variance des traceurs (amortissement) plutôt qu'une croissance illimitée.
• Intégration Temporelle : Le système utilise un intégrateur Runge-Kutta d'ordre trois stable rigoureusement (SSP-RK3) pour l'étape de transport et une approche quasi-Newton (résolue via GMRES) pour la dynamique couplée.

Contributions Clés

1. Formulation Hybride : L'article introduit une formulation cohérente qui harmonise la dynamique conservant l'énergie d'ordre inférieur avec le transport conservant la variance des traceurs d'ordre élevé.
2. Transport sous Forme Matérielle : Contrairement aux formulations précédentes conservant la variance des traceurs qui reposent sur des formes de flux, ce travail exprime l'opérateur d'advection discret sous forme matérielle pour un couplage efficace avec la dynamique d'ordre inférieur sous forme de flux.
3. Hiérarchie de Maillage : La mise en œuvre d'une hiérarchie de maillage spécifique où les centres de cellules d'ordre inférieur s'alignent avec les points de Gauss-Legendre d'ordre élevé facilite un couplage direct et efficace sans erreurs d'interpolation complexes.
4. Mécanisme de Stabilité : La méthode démontre que l'utilisation d'un transport d'ordre élevé avec upwinding fournit une solution stable qui préserve des structures turbulentes plus riches que les méthodes purement d'ordre inférieur, sans la dissipation excessive typique de l'upwinding d'ordre inférieur.

Résultats
La méthode a été validée à travers trois cas tests standard :

1. Rotation de Corps Rigide : Le schéma DG d'ordre élevé a démontré une convergence d'ordre 4 pour les flux upwindés et d'ordre 3 pour les flux centrés. La conservation de la masse était exacte, et les erreurs de conservation de la variance des traceurs décroissaient avec la résolution, confirmant la stabilité du schéma.
2. Équilibre Thermogéostrophique : Dans un test d'état stationnaire, le système couplé complet a montré une convergence d'ordre 2 pour toutes les variables, limitée par la dynamique d'ordre inférieur. Le schéma a maintenu une conservation de la masse, de la flottabilité pondérée par la profondeur et de l'énergie à la précision machine, sans dérive à long terme de la vorticité relative.
3. Instabilité Thermique (Turbulence Non Linéaire) : Dans un régime hautement non linéaire, le schéma de transport d'ordre élevé avec upwinding a produit des solutions stables qui préservaient les caractéristiques à petite échelle.
   • Comparaison : Les flux centrés purement d'ordre inférieur sont devenus instables en raison d'un aliasing à l'échelle de la grille incontrôlé. Les flux upwindés purement d'ordre inférieur étaient excessivement diffusifs, estompant les structures turbulentes.
   • Performance Hybride : Le schéma couplé haut/bas ordre a maintenu la stabilité (la variance des traceurs a décru modérément) tout en préservant la richesse de la solution turbulente, surpassant les deux alternatives purement d'ordre inférieur.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que cette approche comble avec succès le fossé entre l'efficacité computationnelle des solveurs implicites d'ordre inférieur et la fidélité physique des schémas de transport d'ordre élevé. Bien que la précision globale du système soit formellement limitée à l'ordre 2 par la dynamique d'ordre inférieur, l'utilisation d'un transport conservant la variance des traceurs d'ordre élevé améliore considérablement la stabilité du modèle et la préservation des solutions turbulentes.

L'article note modestement que l'implémentation actuelle utilise un solveur GMRES qui peut ne pas évoluer efficacement pour des domaines parallèles très grands par rapport aux méthodes multigrilles géométriques, suggérant cela comme un domaine potentiel pour une extension future. Les auteurs affirment que la stratégie de couplage est généralisable à d'autres systèmes hamiltoniens non canoniques impliquant des traceurs thermodynamiques, tels que les équations d'Euler compressibles pour les atmosphères sèches et humides. La réalisation principale est de démontrer que la conservation de l'énergie et la stabilité de la variance des traceurs peuvent être maintenues simultanément dans un système couplé, empêchant la dissipation excessive ou l'instabilité souvent trouvées dans les modèles atmosphériques traditionnels d'ordre inférieur.