High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

技術的概要：低次エネルギー保存ダイナミクスを伴う高次トレーサー分散安定輸送

問題提起
地球流体力学の数値モデル化では、計算効率と物理的忠実性の間で妥協を迫られることがよくある。低次数の数値スキーム（有限差分法、有限体積法、有限要素法）は、条件数が低く、収束と行列の組み立てが高速であるため、暗黙的大気ソルバーで頻繁に用いられる。しかし、これらのスキームは通常、高周波のアーティファクトを抑制するためにアップウィンド法に依存しており、その結果、乱流特徴の分解能を低下させる過剰な数値散逸が生じる。一方、高次数の手法（不連続ガラーキン法等）は慣性運動の解明や正確な数値フラックスの構築に効果的であるが、計算コストが高く、低次数の暗黙ソルバーが持つ堅牢な安定性特性を欠くことが多い。さらに、標準的な高次数輸送スキームは、不安定性を導入することなくトレーサー分散（システムの数値エントロピー）を保存することに苦慮する傾向があり、低次数スキームは、非標準ハミルトニアン系における長期的安定性に必要なエネルギー保存構造を維持できないことが多い。

手法
著者らは、熱的浅水方程式の文脈において、ダイナミクス用の低次数混合有限要素ソルバーと、熱力学的トレーサーの物質輸送用の高次数不連続ガラーキン（DG）法を結合するハイブリッド数値枠組みを提案する。

• 低次数ダイナミクス: ダイナミクスソルバーは、方程式のエネルギー保存構造を保存する混合有限要素定式化（最低次数多項式）を採用する。このソルバーは粗いメッシュ上で動作し、速度（$u$）、水深（$h$）、および水深重み付き浮力（$S$）の予測変数を計算する。
• 高次数輸送: 浮力の輸送は、ネストされた細分化メッシュ上で動作する高次数 DG 法によって処理される。浮力はフラックス変数（$S=sh$）ではなく、物質変数（$s$）として扱われる。このスキームは、離散定式化がトレーサー分散を証明的に保存できるようにするために、連続レベルにおける移流演算子の歪対称展開を採用する。
• 結合戦略: 2 つのソルバーは、ネストされたメッシュ階層を介して結合される。低次数メッシュは高次数輸送メッシュ内に埋め込まれており、低次数要素のセル中心が高次数要素のガウス・ルジャンドル求積点と一致する。これにより、自由度間の 1:1 対応が確立される。
  • 高次数浮力場は、各時間ステップの開始時に低次数予測変数から診断される。
  • 高次数輸送方程式は、時間ステップ全体で平均化された低次数質量フラックスおよび水深場を用いて時間発展させられる。
  • 得られた高次数浮力は、ダイナミクスソルバーを更新するために低次数空間へ射影される。
• 保存特性:
  • エネルギー: 結合により、フラックス形式浮力輸送および圧力勾配の反対称性が保存され、低次数ダイナミクスに対する離散エネルギー保存が保証される。
  • トレーサー分散: 高次数輸送スキームは、空間的にトレーサー分散を保存するように設計されている。安定性を確保し、非線形エイリアシングによるグリッドスケールのノイズを防止するために、アップウィンド項が含まれており、これによりトレーサー分散の無制限な増大ではなく、制御された散逸（減衰）が可能となる。
• 時間積分: システムは、輸送ステップに対して剛性安定な 3 次ルンゲ・クッタ法（SSP-RK3）積分器を、結合ダイナミクスに対して準ニュートン法（GMRES による求解）を採用する。

主要な貢献

1. ハイブリッド定式化: 本論文は、低次数エネルギー保存ダイナミクスと高次数トレーサー分散保存輸送を調和させる一貫した定式化を導入する。
2. 物質形式輸送: 従来のトレーサー分散保存定式化がフラックス形式に依存するのに対し、本作業は低次数フラックス形式ダイナミクスと効果的に結合するために、離散移流演算子を物質形式で表現する。
3. メッシュ階層: 低次数セル中心が高次数ガウス・ルジャンドル点と整合する特定のメッシュ階層の実装により、複雑な補間誤差なしに直接的かつ効率的な結合が可能となる。
4. 安定化メカニズム: この手法は、アップウィンドを伴う高次数輸送を使用することで、純粋な低次数法に比べてより豊かな乱流構造を保存しつつ安定した解を提供し、低次数アップウィンドに典型的な過剰な散逸を伴わないことを示している。

結果
この手法は、3 つの標準テストケースを通じて検証された。

1. 剛体回転: 高次数 DG スキームは、アップウィンドフラックスに対して 4 次収束、セントラルフラックスに対して 3 次収束を示した。質量保存は厳密であり、トレーサー分散保存誤差は分解能とともに減少し、スキームの安定性が確認された。
2. 熱地衡平衡: 定常状態のテストにおいて、完全な結合システムは、低次数ダイナミクスによって制限され、すべての変数に対して 2 次収束を示した。このスキームは、質量、水深重み付き浮力、およびエネルギーの機械精度での保存を維持し、相対渦度において長期的なドリフトは生じなかった。
3. 熱的不安定性（非線形乱流）: 高度に非線形な領域において、アップウィンドを伴う高次数輸送スキームは、微細な特徴を保存する安定した解を生成した。
   • 比較: 純粋な低次数セントラルフラックスは、制御されていないグリッドスケールのエイリアシングにより不安定化した。純粋な低次数アップウィンドフラックスは過剰に拡散的であり、乱流構造をぼかしてしまった。
   • ハイブリッド性能: 結合された高次数/低次数スキームは、安定性を維持しつつ（トレーサー分散は適度に減衰）、乱流解の豊かさを保持し、純粋な低次数の代替案の両方を凌駕した。

意義と主張
著者らは、このアプローチが、低次数暗黙ソルバーの計算効率と高次数輸送スキームの物理的忠実性の間のギャップを成功裡に埋めたと主張する。システム全体の精度は形式的には低次数ダイナミクスによって 2 次まで制限されるが、高次数かつトレーサー分散保存の輸送を使用することは、モデルの安定性と乱流解の保存を著しく改善する。

本論文は控えめに、現在の実装では GMRES ソルバーを使用しており、幾何学的多重グリッド法と比較して非常に大規模な並列ドメインに対して効率的にスケーリングしない可能性があることに言及し、これを将来の拡張の可能性のある領域として示唆している。著者らは、結合戦略が、乾燥および湿潤大気のための圧縮性オイラー方程式など、熱力学的トレーサーを伴う他の非標準ハミルトニアン系にも一般化可能であると主張する。主な成果は、エネルギー保存とトレーサー分散の安定性を、従来の低次数大気モデルでよく見られる過剰な散逸や不安定性を回避しつつ、結合システム内で同時に維持できることを実証した点にある。