High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Technische Samenvatting: Variantie-stabiel transport met hoge orde tracer en energiebehoudende dynamica met lage orde

Probleemstelling
Numerieke modellering van geofysische fluiddynamica vereist vaak een compromis tussen rekenkundige efficiëntie en fysische nauwkeurigheid. Numerieke schema's met lage orde ( eindige differenties, eindige volumes en eindige elementen) worden frequent ingezet voor impliciete atmosferische oplosmethoden, omdat hun lagere conditiecijfers snellere convergentie en matrixopbouw faciliteren. Deze schema's vertrouwen echter doorgaans op upwinding om hoogfrequente artefacten te onderdrukken, wat leidt tot excessieve numerieke dissipatie die de resolutie van turbulente kenmerken verslechtert. Daarentegen zijn methoden met hoge orde (zoals Discontinuous Galerkin) effectief voor het oplossen van inertiebewegingen en het construeren van nauwkeurige numerieke fluxen, maar zijn ze rekenkundig duur en missen ze vaak de robuuste stabiliteitseigenschappen van impliciete oplosmethoden met lage orde. Bovendien worstelen standaard transportschema's met hoge orde vaak met het behoud van tracer-variatie (een numerieke entropie van het systeem) zonder instabiliteit in te brengen, terwijl schema's met lage orde vaak falen in het behoud van de energiebehoudende structuur die vereist is voor langetermijnstabiliteit in niet-canonieke Hamilton-systemen.

Methodologie
De auteurs stellen een hybride numeriek raamwerk voor dat een oplosmethode met lage orde en gemengde eindige elementen voor dynamica koppelt aan een methode met hoge orde Discontinuous Galerkin (DG) voor het materiaaltransport van thermodynamische tracers, specifiek binnen de context van de thermische ondiepe watervergelijkingen.

• Dynamica met lage orde: De dynamica-oplosmethode maakt gebruik van een formulering met gemengde eindige elementen (laagste polynoomorde) die de energiebehoudende structuur van de vergelijkingen behoudt. Deze oplosmethode werkt op een grof rooster en berekent prognostische variabelen voor snelheid ($u$), diepte ($h$) en diepte-gewogen opwaartse kracht ($S$).
• Transport met hoge orde: Het transport van de opwaartse kracht wordt behandeld door een DG-schema met hoge orde dat werkt op een genest, verfijnd rooster. De opwaartse kracht wordt behandeld als een materiaalvariabele ($s$) in plaats van een fluxvariabele ($S=sh$). Het schema maakt gebruik van een schuinsymmetrische expansie van de advectie-operator op het continue niveau om ervoor te zorgen dat de discrete formulering wiskundig bewezen tracer-variatie kan behouden.
• Koppelstrategie: De twee oplosmethoden worden gekoppeld via een geneste hiërarchie van roosters. Het rooster met lage orde is ingebed in het transportrooster met hoge orde, zodat de celcentra van de elementen met lage orde samenvallen met de Gauss-Legendre-kwadratuurpunten van de elementen met hoge orde. Dit creëert een 1:1-mapping tussen vrijheidsgraden.
  • Het veld met opwaartse kracht met hoge orde wordt gediagnosticeerd vanuit de prognostische variabelen met lage orde aan het begin van elke tijdstap.
  • De transportvergelijking met hoge orde wordt geavanceerd met behulp van de massavlux en dieptevelden met lage orde (gemiddeld over de tijdstap).
  • De resulterende opwaartse kracht met hoge orde wordt geprojecteerd terug naar de ruimte met lage orde om de dynamica-oplosmethode bij te werken.
• Behoudseigenschappen:
  • Energie: De koppeling behoudt de antisymmetrie van het flux-vormige transport van opwaartse kracht en de drukgradiënt, waardoor discrete energiebehoud voor de dynamica met lage orde wordt gewaarborgd.
  • Tracer-variatie: Het transportschema met hoge orde is ontworpen om tracer-variatie in de ruimte te behouden. Om stabiliteit te waarborgen en raster-schaalruis door niet-lineaire aliasing te voorkomen, wordt een upwinding-term opgenomen, wat gecontroleerde dissipatie van tracer-variatie (demping) mogelijk maakt in plaats van onbegrensde groei.
• Tijdsintegratie: Het systeem maakt gebruik van een stijf-stabiele Runge-Kutta-integrator van de derde orde (SSP-RK3) voor de transportstap en een quasi-Newton-benadering (opgelost via GMRES) voor de gekoppelde dynamica.

Belangrijkste bijdragen

1. Hybride formulering: Het artikel introduceert een consistente formulering die energiebehoudende dynamica met lage orde harmoniseert met transport met behoud van tracer-variatie met hoge orde.
2. Transport in materiaalvorm: In tegenstelling tot eerdere formuleringen met behoud van tracer-variatie die vertrouwen op flux-vormen, drukt dit werk de discrete advectie-operator uit in materiaalvorm om effectief te koppelen met flux-vormige dynamica met lage orde.
3. Roosterhiërarchie: De implementatie van een specifieke roosterhiërarchie waarbij celcentra met lage orde aligneren met Gauss-Legendre-punten met hoge orde, faciliteert een directe, efficiënte koppeling zonder complexe interpolatiefouten.
4. Stabiliteitsmechanisme: De methode toont aan dat het gebruik van transport met hoge orde en upwinding een stabiele oplossing biedt die rijker turbulente structuren behoudt dan puur methoden met lage orde, zonder de excessieve dissipatie die kenmerkend is voor upwinding met lage orde.

Resultaten
De methode is gevalideerd via drie standaard testcases:

1. Rotatie van een star lichaam: Het DG-schema met hoge orde toonde een convergentie van de vierde orde voor geupwinded fluxen en van de derde orde voor gecentreerde fluxen. Massabehoud was exact, en fouten in het behoud van tracer-variatie namen af met de resolutie, wat de stabiliteit van het schema bevestigde.
2. Thermogeostrofische balans: In een steady-state test toonde het volledige gekoppelde systeem een convergentie van de tweede orde voor alle variabelen, beperkt door de dynamica met lage orde. Het schema behield behoud van massa, diepte-gewogen opwaartse kracht en energie met machine-precisie, zonder lange-termijndrift in relatieve werveling.
3. Thermische instabiliteit (Niet-lineaire turbulentie): In een sterk niet-lineair regime produceerde het transportschema met hoge orde en upwinding stabiele oplossingen die fijn-schaal kenmerken behielden.
   • Vergelijking: Puur gecentreerde fluxen met lage orde werden instabiel door ongecontroleerde raster-schaal aliasing. Puur geupwinded fluxen met lage orde waren excessief diffuus en vagen turbulente structuren uit.
   • Hybride prestaties: Het gekoppelde schema met hoge/laag orde behield stabiliteit (tracer-variatie nam matig af) terwijl het de rijkdom van de turbulente oplossing behield, en presteerde beter dan beide puur alternatieven met lage orde.

Betekenis en claims
De auteurs beweren dat deze aanpak de kloof succesvol overbrugt tussen de rekenkundige efficiëntie van impliciete oplosmethoden met lage orde en de fysische nauwkeurigheid van transportschema's met hoge orde. Hoewel de algehele nauwkeurigheid van het systeem formeel beperkt is tot de tweede orde door de dynamica met lage orde, verbetert het gebruik van transport met behoud van tracer-variatie met hoge orde de modelstabiliteit en het behoud van turbulente oplossingen aanzienlijk.

Het artikel merkt bescheiden op dat de huidige implementatie een GMRES-oplosser gebruikt die mogelijk niet efficiënt schaalt voor zeer grote parallelle domeinen in vergelijking met geometrische multigrid-methoden, wat wordt gesuggereerd als een potentieel gebied voor toekomstige uitbreiding. De auteurs stellen dat de koppelstrategie generaliseerbaar is naar andere niet-canonieke Hamilton-systemen die thermodynamische tracers omvatten, zoals de compressibele Euler-vergelijkingen voor droge en vochtige atmosferen. De primaire prestatie is het aantonen dat energiebehoud en stabiliteit van tracer-variatie gelijktijdig kunnen worden behouden in een gekoppeld systeem, waardoor de excessieve dissipatie of instabiliteit die vaak wordt aangetroffen in traditionele atmosferische modellen met lage orde, wordt voorkomen.