High order tracer variance stable transport with low order energy conserving dynamics for the thermal shallow water equations

Resumen Técnico: Transporte Estable de Varianza de Rastreador de Alto Orden con Dinámica Conservadora de Energía de Bajo Orden

Enunciado del Problema
La modelación numérica de la dinámica de fluidos geofísicos a menudo requiere un compromiso entre la eficiencia computacional y la fidelidad física. Los esquemas numéricos de bajo orden (diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos) se emplean frecuentemente para solucionadores atmosféricos implícitos porque sus números de condición más bajos facilitan una convergencia más rápida y el ensamblaje de matrices. Sin embargo, estos esquemas suelen depender del esquive (upwinding) para suprimir artefactos de alta frecuencia, lo que conduce a una disipación numérica excesiva que degrada la resolución de características turbulentas. Por el contrario, los métodos de alto orden (como el de Galerkin Discontinuo) son efectivos para resolver movimientos inerciales y construir flujos numéricos precisos, pero son computacionalmente costosos y a menudo carecen de las propiedades de estabilidad robusta de los solucionadores implícitos de bajo orden. Además, los esquemas de transporte de alto orden estándar a menudo luchan por conservar la varianza del rastreador (una entropía numérica del sistema) sin introducir inestabilidad, mientras que los esquemas de bajo orden a menudo fallan en preservar la estructura conservadora de energía requerida para la estabilidad a largo plazo en sistemas hamiltonianos no canónicos.

Metodología
Los autores proponen un marco numérico híbrido que acopla un solucionador de elementos finitos mixtos de bajo orden para la dinámica con un método de Galerkin Discontinuo (DG) de alto orden para el transporte material de rastreadores termodinámicos, específicamente dentro del contexto de las ecuaciones de agua somera térmicas.

• Dinámica de Bajo Orden: El solucionador de dinámica utiliza una formulación de elementos finitos mixtos (orden polinómico más bajo) que preserva la estructura conservadora de energía de las ecuaciones. Este solucionador opera sobre una malla gruesa y calcula variables prognósticas para la velocidad ($u$), la profundidad ($h$) y la flotabilidad ponderada por profundidad ($S$).
• Transporte de Alto Orden: El transporte de flotabilidad se maneja mediante un esquema DG de alto orden que opera sobre una malla anidada y refinada. La flotabilidad se trata como una variable material ($s$) en lugar de una variable de flujo ($S=sh$). El esquema emplea una expansión antisimétrica del operador de advección a nivel continuo para asegurar que la formulación discreta pueda conservar demostrablemente la varianza del rastreador.
• Estrategia de Acoplamiento: Los dos solucionadores se acoplan mediante una jerarquía anidada de mallas. La malla de bajo orden está incrustada dentro de la malla de transporte de alto orden de tal manera que los centros de celda de los elementos de bajo orden coinciden con los puntos de cuadratura de Gauss-Legendre de los elementos de alto orden. Esto crea una correspondencia 1:1 entre los grados de libertad.
  • El campo de flotabilidad de alto orden se diagnostica a partir de las variables prognósticas de bajo orden al inicio de cada paso de tiempo.
  • La ecuación de transporte de alto orden se avanza utilizando los campos de flujo de masa y profundidad de bajo orden (promediados sobre el paso de tiempo).
  • La flotabilidad de alto orden resultante se proyecta de nuevo al espacio de bajo orden para actualizar el solucionador de dinámica.
• Propiedades de Conservación:
  • Energía: El acoplamiento preserva la antisimetría del transporte de flotabilidad en forma de flujo y el gradiente de presión, asegurando la conservación de energía discreta para la dinámica de bajo orden.
  • Varianza del Rastreador: El esquema de transporte de alto orden está diseñado para conservar la varianza del rastreador en el espacio. Para asegurar la estabilidad y prevenir el ruido a escala de malla por aliasing no lineal, se incluye un término de esquive (upwinding), lo que permite una disipación controlada de la varianza del rastreador (amortiguación) en lugar de un crecimiento ilimitado.
• Integración Temporal: El sistema utiliza un integrador Runge-Kutta de tercer orden estable rígidamente (SSP-RK3) para el paso de transporte y un enfoque cuasi-Newton (resuelto mediante GMRES) para la dinámica acoplada.

Contribuciones Clave

1. Formulación Híbrida: El artículo introduce una formulación consistente que armoniza la dinámica conservadora de energía de bajo orden con el transporte conservador de varianza de rastreador de alto orden.
2. Transporte en Forma Material: A diferencia de las formulaciones anteriores de conservación de varianza de rastreador que se basan en formas de flujo, este trabajo expresa el operador de advección discreto en forma material para acoplarse eficazmente con la dinámica de flujo de bajo orden.
3. Jerarquía de Mallas: La implementación de una jerarquía de mallas específica donde los centros de celda de bajo orden se alinean con los puntos de Gauss-Legendre de alto orden facilita un acoplamiento directo y eficiente sin errores de interpolación complejos.
4. Mecanismo de Estabilidad: El método demuestra que el uso de transporte de alto orden con esquive proporciona una solución estable que preserva estructuras turbulentas más ricas en comparación con los métodos puramente de bajo orden, sin la disipación excesiva típica del esquive de bajo orden.

Resultados
El método fue validado mediante tres casos de prueba estándar:

1. Rotación de Cuerpo Rígido: El esquema DG de alto orden demostró una convergencia de orden 4 para flujos con esquive y de orden 3 para flujos centrados. La conservación de masa fue exacta, y los errores de conservación de varianza del rastreador decaían con la resolución, confirmando la estabilidad del esquema.
2. Equilibrio Termogeostófico: En una prueba de estado estacionario, el sistema completo acoplado mostró una convergencia de segundo orden para todas las variables, limitada por la dinámica de bajo orden. El esquema mantuvo la conservación de masa, flotabilidad ponderada por profundidad y energía con precisión de máquina, sin deriva a largo plazo en la vorticidad relativa.
3. Inestabilidad Térmica (Turbulencia No Lineal): En un régimen altamente no lineal, el esquema de transporte de alto orden con esquive produjo soluciones estables que preservaron características de escala fina.
   • Comparación: Los flujos centrados puramente de bajo orden se volvieron inestables debido al aliasing de escala de malla no controlado. Los flujos con esquive puramente de bajo orden fueron excesivamente difusivos, difuminando las estructuras turbulentas.
   • Rendimiento Híbrido: El esquema acoplado de alto orden/bajo orden mantuvo la estabilidad (la varianza del rastreador decaía moderadamente) mientras preservaba la riqueza de la solución turbulenta, superando a ambas alternativas puramente de bajo orden.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que este enfoque cruza exitosamente la brecha entre la eficiencia computacional de los solucionadores implícitos de bajo orden y la fidelidad física de los esquemas de transporte de alto orden. Si bien la precisión general del sistema está formalmente limitada a segundo orden por la dinámica de bajo orden, el uso de transporte conservador de varianza de rastreador de alto orden mejora significativamente la estabilidad del modelo y la preservación de soluciones turbulentas.

El artículo nota modestamente que la implementación actual utiliza un solucionador GMRES que podría no escalar eficientemente para dominios paralelos muy grandes en comparación con los métodos de multigrid geométrico, sugiriendo esto como un área potencial para futuras extensiones. Los autores afirman que la estrategia de acoplamiento es generalizable a otros sistemas hamiltonianos no canónicos que involucran rastreadores termodinámicos, como las ecuaciones de Euler compresibles para atmósferas secas y húmedas. El logro principal es demostrar que la conservación de energía y la estabilidad de la varianza del rastreador pueden mantenerse simultáneamente en un sistema acoplado, evitando la disipación excesiva o la inestabilidad que a menudo se encuentra en los modelos atmosféricos tradicionales de bajo orden.