Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

Technische Zusammenfassung: Multiplizität von Lösungen für nichtlineare skalare Feldgleichungen mit einem kritischen inversen Quadratpotenzial

Problemstellung
Die vorliegende Arbeit untersucht die Multiplizität der Lösungen zur nichtlinearen skalaren Feldgleichung:
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
wobei $N \geq 3$. Die Gleichung weist das kritische inverse Quadratpotenzial mit der optimalen Konstante $\mu_c = (N-2)^2/4$ auf. Diese spezifische Koeffizientenwahl platziert das Problem an der kritischen Schwelle der Hardy-Ungleichung, was erhebliche analytische Herausforderungen mit sich bringt. Die Nichtlinearität $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ wird als stetig angenommen und erfüllt spezifische Wachstums- und Vorzeichenbedingungen (bezeichnet als (G1)–(G5)), welche unter anderem ein subkritisches Wachstum im Unendlichen sowie ein superlineares Verhalten nahe Null beinhalten.

Methodik und Funktionaler Rahmen
Die Autoren bauen auf dem in ihrer vorangegangenen Arbeit [3] etablierten funktionalen Rahmenwerk auf und wenden die abstrakte kritische Punkttheorie von Ikoma [11] an.

1. Energieraum ($X^1$): Aufgrund der mangelnden Koerzitivität der quadratischen Form des Operators $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ auf dem Standard-Sobolev-Raum $H^1(\mathbb{R}^N)$ ist der natürliche Energieraum strikt größer als $H^1(\mathbb{R}^N)$. Die Autoren verwenden $X^1(\mathbb{R}^N)$, definiert als die Vervollständigung von $H^1(\mathbb{R}^N)$ bezüglich einer Norm, die den Hardy-Term beinhaltet. Da die Standardintegrale im Energiefunktional für Funktionen in $X^1 \setminus H^1$ nicht wohldefiniert sind, verwenden die Autoren eine singuläre bilineare Form $\xi(u, v)$, die einen Grenzwertprozess nutzt, um das Skalarprodukt und die Norm auf diesem Raum zu definieren.
2. Symmetrie und Unterräume: Um die Multiplizität zu etablieren, beschränken die Autoren den Energiefunktionalen auf spezifische Unterräume von $X^1(\mathbb{R}^N)$:
   • Radialer Fall: Der Unterraum der radial symmetrischen Funktionen $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ für $N \geq 3$.
   • Nicht-radialer Fall: Für $N \geq 4$ und $N \neq 5$ definieren die Autoren einen Unterraum $X$, der aus Funktionen besteht, die unter einer spezifischen Symmetriegruppe ($O_2$) invariant und bezüglich einer Involution $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$ antisymmetrisch sind. Diese Konstruktion stellt sicher, dass nicht-trivialen radialen Funktionen ausgeschlossen werden.
3. Variationaler Ansatz: Die Lösungen werden als kritische Punkte des Energiefunktionalen $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$ gesucht, wobei $G$ das Primitiv von $g$ ist. Die Autoren nutzen das Pohožaev-Funktional $P(u)$, um eine Constraint-Mannigfaltigkeit zu definieren. Sie verifizieren die $(PPS)_c$-Bedingung (eine Variante der Palais-Smale-Bedingung unter Einbeziehung der Pohožaev-Identität) für den eingeschränkten Funktionalen.
4. Kritischer Punktsatz: Die Existenz unendlich vieler Lösungen wird unter Verwendung von Ikomas abstraktem kritischen Punktsatz abgeleitet. Dieser Satz setzt voraus, dass der Funktionalal gerade ist (garantiert durch die ungerade Natur von $g$) und spezifische geometrische Bedingungen erfüllt (Mountain-Pass-Geometrie und die Existenz ungerader Abbildungen von Sphären in den Funktionsraum mit negativer Energie).

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Der primäre Beitrag der Arbeit ist die Feststellung der Existenz von unendlich vielen distinkten schwachen Lösungen zu Gleichung (1.1), kategorisiert nach ihrer Symmetrie:

• Radiale Lösungen: Für jede Dimension $N \geq 3$ existiert eine Folge radialer schwacher Lösungen $(u_j)_{j=1}^\infty$, sodass die Energie $J(u_j) \to \infty$ für $j \to \infty$ gilt.
• Nicht-radiale Lösungen: Für die Dimensionen $N = 4$ oder $N \geq 6$ existiert eine Folge nicht-radialer schwacher Lösungen $(u_j)_{j=1}^\infty$ mit unbeschränkter Energie.
• Regulariät: Die gewonnenen Lösungen werden als der Klasse $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ nachgewiesen. Falls die Nichtlinearität $g$ Hölder-stetig ist, sind die Lösungen der Klasse $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$.
• Pohožaev-Identität: Die konstruierten Lösungen erfüllen die Pohožaev-Identität $P(u_j) = 0$.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit beansprucht, die Multiplizitätsfrage für das kritische inverse Quadratpotenzial zu lösen – ein Regime, in dem Standard-Variationsmethoden oft aufgrund des Mangels an Translationsinvarianz und der nicht-standardmäßigen Natur des Energieraums versagen.

• Erweiterung vorangegangener Arbeiten: Während die vorangegangene Arbeit der Autoren [3] die Existenz von mindestens einer nicht-radialen Lösung und einer radialen Lösung (unter der Annahme, dass $g$ ungerade ist) feststellte, erweitert diese Arbeit diese Ergebnisse, um die Existenz unendlich vieler Lösungen beider Typen zu beweisen.
• Überwindung analytischer Schwierigkeiten: Die Arbeit zeigt, dass trotz des „Fall to the Center“-Phänomens und des Verlusts der Koerzitivität bei der kritischen Konstante die variationale Struktur robust genug bleibt, um eine unendliche Folge von Lösungen zu unterstützen, wenn die Nichtlinearität eine ungerade Symmetrie besitzt.
• Methodische Stringenz: Die Arbeit adressiert rigoros die Definition des Energiefunktionalen auf dem erweiterten Raum $X^1$ und validiert die Kompaktheitseigenschaften, die für die Anwendung abstrakter kritischer Punktsätze in diesem singulären Setting erforderlich sind.

Die Autoren merken explizit an, dass die Regularitätstheorie im kritischen Hardy-Setting nicht vollständig entwickelt ist, und somit offen bleibt, ob alle schwachen Lösungen die Pohožaev-Identität erfüllen; die in dieser Arbeit konstruierten Lösungen sind jedoch spezifisch so ausgewählt, dass sie diese erfüllen.