Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

Sintesi Tecnica: Molteplicità di Soluzioni per Equazioni di Campo Scalare Non Lineari con un Potenziale Inverso-Quadratico Critico

Enunciato del Problema
L'articolo investiga la molteplicità di soluzioni per l'equazione di campo scalare non lineare:
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
dove $N \geq 3$. L'equazione presenta il potenziale di Hardy inverso-quadratico critico con la costante ottimale $\mu_c = (N-2)^2/4$. Questo coefficiente specifico colloca il problema alla soglia critica della disuguaglianza di Hardy, introducendo significative sfide analitiche. La non linearità $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è assunta essere continua, dispari e soddisfare specifiche condizioni di crescita e di segno (denotate come (G1)–(G5)), che includono una crescita subcritica all'infinito e un comportamento superlineare vicino allo zero.

Metodologia e Framework Funzionale
Gli autori si basano sul framework funzionale stabilito nel loro lavoro precedente [3] e applicano la teoria astratta dei punti critici sviluppata da Ikoma [11].

1. Spazio di Energia ($X^1$): A causa della mancanza di coercitività della forma quadratica associata all'operatore $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ sullo spazio Sobolev standard $H^1(\mathbb{R}^N)$, lo spazio di energia naturale è strettamente più grande di $H^1(\mathbb{R}^N)$. Gli autori utilizzano $X^1(\mathbb{R}^N)$, definito come la completazione di $H^1(\mathbb{R}^N)$ rispetto a una norma che coinvolge il termine di Hardy. Poiché gli integrali standard nel funzionale di energia non sono ben definiti per le funzioni in $X^1 \setminus H^1$, gli autori impiegano una forma bilineare singolare $\xi(u, v)$ attraverso un processo limite per definire il prodotto interno e la norma su questo spazio.
2. Simmetria e Sottospazi: Per stabilire la molteplicità, gli autori restringono il funzionale di energia a specifici sottospazi di $X^1(\mathbb{R}^N)$:
   • Caso Radiale: Il sottospazio delle funzioni radialmente simmetriche $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ per $N \geq 3$.
   • Caso Non Radiale: Per $N \geq 4$ e $N \neq 5$, gli autori definiscono un sottospazio $X$ costituito da funzioni invarianti sotto un particolare gruppo di simmetrie ($O_2$) e antisimmetriche rispetto a un'involuzione $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$. Questa costruzione assicura l'esclusione di funzioni radiali non triviali.
3. Approccio Variazionale: Le soluzioni sono ricercate come punti critici del funzionale di energia $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$, dove $G$ è la primitiva di $g$. Gli autori utilizzano il funzionale di Pohožaev $P(u)$ per definire un manifold di vincolo. Essi verificano la condizione $(PPS)_c$ (una variante della condizione di Palais-Smale che incorpora l'identità di Pohožaev) per il funzionale ristretto.
4. Teorema del Punto Critico: L'esistenza di infinite soluzioni è derivata utilizzando il teorema del punto critico astratto di Ikoma. Questo teorema richiede che il funzionale sia pari (garantito dalla disparietà di $g$) e soddisfi specifiche condizioni geometriche (geometria del passaggio di montagna e l'esistenza di mappe dispari da sfere in uno spazio funzionale con energia negativa).

Contributi Principali e Risultati
Il contributo primario dell'articolo è l'instaurazione dell'esistenza di infinite soluzioni distinte all'equazione (1.1), categorizzate in base alla loro simmetria:

• Soluzioni Radiali: Per ogni dimensione $N \geq 3$, esiste una sequenza di soluzioni deboli radiali $(u_j)_{j=1}^\infty$ tale che l'energia $J(u_j) \to \infty$ per $j \to \infty$.
• Soluzioni Non Radiali: Per le dimensioni $N = 4$ o $N \geq 6$, esiste una sequenza di soluzioni deboli non radiali $(u_j)_{j=1}^\infty$ con energia illimitata.
• Regolarità: Le soluzioni ottenute sono mostrate essere di classe $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$. Se la non linearità $g$ è Hölder continua, le soluzioni sono di classe $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$.
• Identità di Pohožaev: Le soluzioni costruite soddisfano l'identità di Pohožaev $P(u_j) = 0$.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo sostiene di risolvere la questione della molteplicità per il potenziale inverso-quadratico critico, un regime in cui i metodi variazionali standard spesso falliscono a causa della mancanza di invarianza per traslazione e della natura non standard dello spazio di energia.

• Estensione del Lavoro Precedente: Mentre il loro precedente lavoro [3] stabiliva l'esistenza di almeno una soluzione non radiale e una soluzione radiale (sotto l'assunzione che $g$ sia dispari), questo articolo estende tali risultati per provare l'esistenza di infinite soluzioni di entrambi i tipi.
• Superamento delle Difficoltà Analitiche: Il lavoro dimostra che, nonostante il fenomeno di "caduta al centro" (fall to the center) e la perdita di coercitività alla costante critica, la struttura variazionale rimane sufficientemente robusta da sostenere una sequenza infinita di soluzioni quando la non linearità possiede simmetria dispari.
• Rigore Metodologico: Il lavoro affronta rigorosamente la definizione del funzionale di energia sullo spazio ampliato $X^1$ e valida le proprietà di compattezza necessarie per l'applicazione di teoremi astratti dei punti critici in questo contesto singolare.

Gli autori notano esplicitamente che la teoria della regolarità nel contesto di Hardy critico non è pienamente sviluppata, e quindi rimane una questione aperta se tutte le soluzioni deboli soddisfino l'identità di Pohožaev; tuttavia, le soluzioni costruite in questo lavoro sono specificamente selezionate per soddisfarla.