Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

Resumen Técnico: Multiplicidad de Soluciones para Ecuaciones de Campo Escalar No Lineal con un Potencial de Inverso al Cuadrado Crítico

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la multiplicidad de soluciones para la ecuación de campo escalar no lineal:
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{en } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
donde $N \geq 3$. La ecuación presenta el potencial crítico de inverso al cuadrado de Hardy con la constante óptima $\mu_c = (N-2)^2/4$. Este coeficiente específico sitúa el problema en el umbral crítico de la desigualdad de Hardy, lo que introduce desafíos analíticos significativos. Se asume que la no linealidad $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, impar y satisface condiciones específicas de crecimiento y signo (denotadas como (G1)–(G5)), las cuales incluyen un crecimiento subcrítico en el infinito y un comportamiento superlineal cerca de cero.

Metodología y Marco Funcional
Los autores se basan en el marco funcional establecido en su trabajo previo [3] y aplican la teoría de puntos críticos abstractos desarrollada por Ikoma [11].

1. Espacio de Energía ($X^1$): Debido a la falta de coercitividad de la forma cuadrática asociada al operador $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ en el espacio de Sobolev estándar $H^1(\mathbb{R}^N)$, el espacio de energía natural es estrictamente mayor que $H^1(\mathbb{R}^N)$. Los autores utilizan $X^1(\mathbb{R}^N)$, definido como la completación de $H^1(\mathbb{R}^N)$ con respecto a una norma que involucra el término de Hardy. Debido a que las integrales estándar en el funcional de energía no están bien definidas para funciones en $X^1 \setminus H^1$, los autores emplean una forma bilineal singular $\xi(u, v)$ mediante un proceso de límite para definir el producto interno y la norma en este espacio.
2. Simetría y Subespacios: Para establecer la multiplicidad, los autores restringen el funcional de energía a subespacios específicos de $X^1(\mathbb{R}^N)$:
   • Caso Radial: El subespacio de funciones radialmente simétricas $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ para $N \geq 3$.
   • Caso No Radial: Para $N \geq 4$ y $N \neq 5$, los autores definen un subespacio $X$ compuesto por funciones invariantes bajo un grupo específico de simetrías ($O_2$) y antisimétricas con respecto a una involución $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$. Esta construcción asegura la exclusión de funciones radiales no triviales.
3. Enfoque Variacional: Las soluciones se buscan como puntos críticos del funcional de energía $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$, donde $G$ es la primitiva de $g$. Los autores utilizan el funcional de Pohožaev $P(u)$ para definir una variedad de restricción. Verifican la condición $(PPS)_c$ (una variante de la condición de Palais-Smale que incorpora la identidad de Pohožaev) para el funcional restringido.
4. Teorema de Punto Crítico: La existencia de infinitas soluciones se deriva utilizando el teorema de punto crítico abstracto de Ikoma. Este teorema requiere que el funcional sea par (garantizado por la imparidad de $g$) y satisfaga condiciones geométricas específicas (geometría de paso de montaña y la existencia de mapas impares desde esferas hacia el espacio de funciones con energía negativa).

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal del artículo es el establecimiento de la existencia de infinitas soluciones débiles distintas a la ecuación (1.1), categorizadas según su simetría:

• Soluciones Radiales: Para cualquier dimensión $N \geq 3$, existe una secuencia de soluciones radiales débicas $(u_j)_{j=1}^\infty$ tal que la energía $J(u_j) \to \infty$ cuando $j \to \infty$.
• Soluciones No Radiales: Para dimensiones $N = 4$ o $N \geq 6$, existe una secuencia de soluciones no radiales débicas $(u_j)_{j=1}^\infty$ con energía no acotada.
• Regularidad: Se demuestra que las soluciones obtenidas son de clase $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$. Si la no linealidad $g$ es Hölder continua, las soluciones son de clase $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$.
• Identidad de Pohožaev: Las soluciones construidas satisfacen la identidad de Pohožaev $P(u_j) = 0$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver la cuestión de la multiplicidad para el potencial de inverso al cuadrado crítico, un régimen donde los métodos variacionales estándar a menudo fallan debido a la falta de invarianza de traslación y la naturaleza no estándar del espacio de energía.

• Extensión del Trabajo Previo: Mientras que su trabajo anterior [3] estableció la existencia de al menos una solución no radial y una solución radial (bajo el supuesto de que $g$ es impar), este artículo extiende esos resultados para probar la existencia de infinitas soluciones de ambos tipos.
• Superación de Dificultades Analíticas: El trabajo demuestra que, a pesar del fenómeno de "caída al centro" (fall to the center) y la pérdida de coercitividad en la constante crítica, la estructura variacional sigue siendo lo suficientemente robusta como para soportar una secuencia infinente de soluciones cuando la no linealidad posee simetría impar.
• Rigor Metodológico: El artículo aborda rigurosamente la definición del funcional de energía en el espacio ampliado $X^1$ y valida las propiedades de compacidad requeridas para la aplicación de teoremas de puntos críticos abstractos en este entorno singular.

Los autores señalan explícitamente que la teoría de regularidad en el entorno de Hardy crítico no está plenamente desarrollada, por lo que sigue siendo una cuestión abierta si todas las soluciones débiles satisfacen la identidad de Pohožaev; sin embargo, las soluciones construidas en este trabajo están seleccionadas específicamente para satisfacerla.