Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

技術要約：臨界逆二乗ポテンシャルを持つ非線形スカラー場方程式の解の多重性

問題設定
本論文は、以下の非線形スカラー場方程式における解の多重性を調査している：
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
ここで $N \geq 3$ である。この方程式は、最適定数 $\mu_c = (N-2)^2/4$ を持つ臨界逆二乗ハーディ・ポテンシャルを特徴としている。この特定の係数は、問題がハーディの不等式の臨界閾値に位置していることを意味し、重大な解析的課題をもたらす。非線形関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は連続であり、奇関数であり、かつ特定の成長および符号条件（(G1)–(G5)と表記）を満たすものとする。これには、無限遠における劣臨界的な成長と、ゼロ近傍における超線形な挙動が含まれる。

手法および関数フレームワーク
著者らは、彼らの先行研究 [3] で確立された関数フレームワークに基づき、Ikoma [11] によって開発された抽象的なクリティカル・ポイント理論を適用している。

1. エネルギー空間 ($X^1$): 標準的なソボレフ空間 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上の二次形式が強コアツィビティ（coercivity）を欠いているため、自然なエネルギー空間は $H^1(\mathbb{R}^N)$ よりも厳密に大きい。著者らは、$H^1(\mathbb{R}^N)$ をハーディ項を含むノルムに関して完備化した $X^1(\mathbb{R}^N)$ を用いる。$X^1$ 内の関数に対して標準的な積分は定義されない場合があるため、著者らは内積と $X^1$ 上のノルムを定義するために、極限プロセスを用いた特異な双線型形式 $\xi(u, v)$ を採用している。
2. 対称性と部分空間: 多重性を確立するために、著者らはエネルギー汎関数を $X^1(\mathbb{R}^N)$ の特定の部分空間に制限している：
   • 径方向（Radial）の場合: $N \geq 3$ における径対称関数の部分空間 $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$。
   • 非径方向（Non-radial）の場合: $N \geq 4$ かつ $N \neq 5$ の場合、著者らは特定の対称群（$O_2$）に対して不変であり、かつ対合（involution）$\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$ に関して反対称である関数からなる部分空間 $X$ を定義する。この構成により、非自明な径方向関数が排除される。
3. 変分法によるアプローチ: 解は、エネルギー汎関数 $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$ （ここで $G$ は $g$ の原始関数）のクリティカル・ポイントとして求められる。著者らは、ポホヤエフ汎関数 $P(u)$ を用いて制約多様体を定義する。また、制限された汎関数に対する $(PPS)_c$ 条件（ポホヤエフ恒等式を組み込んだパレ・スメール条件の変種）を検証する。
4. クリティカル・ポイント定理: 無限個の解の存在は、Ikoma の抽象的なクリティカル・ポイント定理を用いて導かれる。この定理は、汎関数が偶関数であること（$g$ の奇関数性により保証される）、および幾何学的条件（山登り型（mountain pass）の幾何学、および球体から関数空間への負のエネルギーを持つ奇関数からの奇写像の存在）を満たすことを要求する。

主要な貢献および結果
本論文の主要な貢献は、式 (1.1) に対する無限個の相異なる弱解の存在を、その対称性に基づいて分類して確立したことである：

• 径方向解: 任意の次元 $N \geq 3$ に対して、エネルギー $J(u_j) \to \infty$ ($j \to \infty$) となる径方向の弱解の列 $(u_j)_{j=1}^\infty$ が存在する。
• 非径方向解: 次元 $N = 4$ または $N \geq 6$ の場合、非有界なエネルギーを持つ非径方向の弱解の列 $(u_j)_{j=1}^\infty$ が存在する。
• 正則性: 得られた解は $\text{class } C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ であることが示されている。もし非線形関数 $g$ がヘルダー連続であれば、解は $\text{class } C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ となる。
• ポホヤエフ恒等式: 構成された解は、ポホヤエフ恒等式 $P(u_j) = 0$ を満たす。

意義および主張
本論文は、標準的な変分法が、並進不変性の欠如やエネルギー空間の非標準的な性質のために失敗することが多い領域である、臨界逆二乗ポテンシャルの多重性の問題を解決したと主張している。

• 先行研究の拡張: 著者らの先行研究 [3] では、$g$ が奇関数であるという仮定の下で、少なくとも一つの非径方向解と一つの径方向解の存在を確立したが、本論文はこれらの結果を拡張し、両方のタイプの無限個の解の存在を証明している。
• 解析的困難の克服: 本研究は、「中心への落下（fall to the center）」現象と、臨界定数における強コアツィビティの喪失にもかかわらず、非線形性が奇対称性を持つとき、変分構造が無限の解の列を支えるのに十分な堅牢性を保持していることを示している。
• 手法の厳密性: 論文は、拡大された空間 $X^1$ 上でのエネルギー汎関数の定義を厳密に扱い、この特異な設定において抽象的なクリティカル・ポイント定理を適用するために必要なコンパクト性特性を検証している。

著者らは、臨界ハーディ設定における正則性理論は完全には発展していないことを明記しており、したがって、すべての弱解がポホヤエフ恒等式を満たすかどうかは未解決の問題であるが、本研究で構成された解は、それを満たすように特別に選択されている。