Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

Resumo Técnico: Multiplicidade de Soluções para Equações de Campo Escalar Não Linear com um Potencial de Inverso-Quadrado Crítico

Enunciado do Problema
O artigo investiga a multiplicidade de soluções para a equação de campo escalar não linear:
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{em } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
onde $N \geq 3$. A equação apresenta o potencial de inverso-quadrado de Hardy crítico com a constante ótima $\mu_c = (N-2)^2/4$. Este coeficiente específico coloca o problema no limiar crítico da desigualdade de Hardy, introduzindo desafios analíticos significativos. A não linearidade $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ é assumida como contínua, ímpar e satisfaz condições específicas de crescimento e sinal (denotadas como (G1)–(G5)), que incluem crescimento subcrítico no infinito e comportamento superlinear próximo a zero.

Metodologia e Estrutura Funcional
Os autores baseiam-se na estrutura funcional estabelecida em seu trabalho anterior [3] e aplicam a teoria de pontos críticos abstrata desenvolvida por Ikoma [11].

1. Espaço de Energia ($X^1$): Devido à falta de coercividade da forma quadrática associada ao operador $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ no espaço de Sobolev padrão $H^1(\mathbb{R}^N)$, o espaço de energia natural é estritamente maior que $H^1(\mathbb{R}^N)$. Os autores utilizam $X^1(\mathbb{R}^N)$, definido como a completude de $H^1(\mathbb{R}^N)$ em relação a uma norma envolvendo o termo de Hardy. Como os integrais padrão no funcional de energia não são bem definidos para funções em $X^1 \setminus H^1$, os autores empregam uma forma bilinear singular $\xi(u, v)$ envolvendo um processo de limite para definir o produto interno e a norma neste espaço.
2. Simetria e Subespaços: Para estabelecer a multiplicidade, os autores restringem o funcional de energia a subespaços específicos de $X^1(\mathbb{R}^N)$:
   • Caso Radial: O subespaço das funções radialmente simétricas $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ para $N \geq 3$.
   • Caso Não Radial: Para $N \geq 4$ e $N \neq 5$, os autores definem um subespaço $X$ composto por funções invariantes sob um grupo específico de simetrias ($O_2$) e antissimétricas em relação a uma involução $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$. Esta construção garante a exclusão de funções radiais não triviais.
3. Abordagem Variacional: As soluções são buscadas como pontos críticos do funcional de energia $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$, onde $G$ é a primitiva de $g$. Os autores utilizam o funcional de Pohožaev $P(u)$ para definir um manufoldo de restrição. Eles verificam a condição $(PPS)_c$ (uma variante da condição de Palais-Smale incorporando a identidade de Pohožaev) para o funcional restrito.
4. Teorema de Ponto Crítico: A existência de infinitas soluções é derivada utilizando o teorema de ponto crítico abstrato de Ikoma. Este teorema requer que o funcional seja par (garantido pela imparidade de $g$) e satisfaça condições geométricas específicas (geometria de passagem de montanha e a existência de mapas ímpares de esferas para o espaço de funções com energia negativa).

Principais Contribuições e Resultados
A principal contribuição do artigo é o estabelecimento da existência de infinitas soluções distintas para a equação (1.1), categorizadas por sua simetria:

• Soluções Radiais: Para qualquer dimensão $N \geq 3$, existe uma sequência de soluções radiais fracas $(u_j)_{j=1}^\infty$ tal que a energia $J(u_j) \to \infty$ quando $j \to \infty$.
• Soluções Não Radiais: Para dimensões $N = 4$ ou $N \geq 6$, existe uma sequência de soluções não radiais fracas $(u_j)_{j=1}^\infty$ com energia ilimitada.
• Regularidade: As soluções obtidas são mostradas como sendo da classe $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$. Se a não linearidade $g$ for Hölder contínua, as soluções são da classe $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$.
• Identidade de Pohožaev: As soluções construídas satisfazem a identidade de Pohožaev $P(u_j) = 0$.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver a questão da multiplicidade para o potencial de inverso-quadrado crítico, um regime onde os métodos variacionais padrão frequentemente falham devido à falta de invariância por translação e à natureza não padrão do espaço de energia.

• Extensão do Trabalho Anterior: Enquanto o trabalho anterior dos autores [3] estabeleceu a existência de pelo menos uma solução não radial e uma solução radial (sob a suposição de que $g$ é ímpar), este artigo estende esses resultados para provar a existência de infinitas soluções de ambos os tipos.
• Superação de Dificuldades Analíticas: O trabalho demonstra que, apesar do fenômeno de "queda ao centro" (fall to the center) e da perda de coercividade na constante crítica, a estrutura variacional permanece robusta o suficiente para suportar uma sequência infinita de soluções quando a não linearidade possui simetria ímpar.
• Rigor Metodológico: O artigo aborda rigorosamente a definição do funcional de energia no espaço ampliado $X^1$ e valida as propriedades de compacidade necessárias para a aplicação de teoremas de ponto crítico abstratos neste cenário singular.

Os autores explicitamente observam que a teoria de regularidade no cenário de Hardy crítico não está totalmente desenvolvida e, portanto, permanece uma questão em aberto se todas as soluções fracas satisfazem a identidade de Pohožaev; no entanto, as soluções construídas neste trabalho são especificamente selecionadas para satisfazê-la.