Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

技术摘要：具有临界反平方势的非线性标量场方程的多重解问题

问题陈述
本文研究了如下非线性标量场方程的多重解问题：
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
其中 $N \geq 3$。该方程具有临界反平方 Hardy 势，其系数为最优常数 $\mu_c = (N-2)^2/4$。这一特定系数使问题处于 Hardy 不等式的临界阈值，引入了显著的分析挑战。假设非线性函数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是连续的、奇函数，并满足特定的增长和符号条件（记作 (G1)–(G5)），这些条件包括在无穷远处的次临界增长以及在零点附近的超线性行为。

方法论与泛函框架
作者基于其先前的工作 [3] 构建了泛函框架，并应用了 Ikoma [11] 开发的抽象临界点理论。

1. 能量空间 ($X^1$)： 由于与算子 $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ 相关的二次型在标准 Sobolev 空间 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 上缺乏强制性（coercivity），其自然的能量空间严格大于 $H^1(\mathbb{R}^N)$。作者利用 $X^1(\mathbb{R}^N)$，该空间定义为 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 关于包含 Hardy 项的范数的完备化。由于对于 $X^1 \setminus H^1$ 中的函数，标准的积分在能量泛函中并非良定义，作者采用了一种涉及极限过程的奇异双线性形式 $\xi(u, v)$ 来定义该空间上的内积和范数。
2. 对称性与子空间： 为了建立多重性，作者将能量泛函限制在 $X^1(\mathbb{R}^N)$ 的特定子空间上：
   • 径向情形： 对于 $N \geq 3$，考虑径向对称函数子空间 $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$。
   • 非径向情形： 对于 $N \geq 4$ 且 $N \neq 5$，作者定义了一个由特定对称群 ($O_2$) 不变且对对合 $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$ 反称的函数组成的子空间 $X$。这种构造确保了排除非平凡的径向函数。
3. 变分方法： 解被作为能量泛函 $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$ 的临界点来寻找，其中 $G$ 是 $g$ 的原函数。作者利用 Pohožaev 泛函 $P(u)$ 来定义一个约束流形。他们验证了限制泛函的 $(PPS)_c$ 条件（一种结合了 Pohožaev 恒等式的 Palais-Smale 条件的变体）。
4. 临界点定理： 无限多解的存在性是利用 Ikoma 的抽象临界点定理推导出来的。该定理要求泛函是偶函数（由 $g$ 的奇函数性质保证），并满足特定的几何条件（山路几何以及从球面到函数空间的具有负能量的奇映射的存在性）。

主要贡献与结果
本文的主要贡献是确立了方程 (1.1) 存在无限多个不同的弱解，并按其对称性进行分类：

• 径向解： 对于任何维度 $N \geq 3$，存在径向弱解序列 $(u_j)_{j=1}^\infty$，使得当 $j \to \infty$ 时，能量 $J(u_j) \to \infty$。
• 非径向解： 对于维度 $N = 4$ 或 $N \geq 6$，存在具有无界能量的非径向弱解序列 $(u_j)_{j=1}^\infty$。
• 正则性： 所得解被证明属于 $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ 类。如果非线性函数 $g$ 是 Hölder 连续的，则解属于 $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ 类。
• Pohožaev 恒等式： 所构造的解满足 Pohožaev 恒等式 $P(u_j) = 0$。

意义与主张
本文声称解决了临界反平方势下的多重性问题，在这一机制下，由于缺乏平移不变性和非标准能量空间的特性，标准的变分方法通常会失效。

• 对前作的扩展： 虽然作者之前的研究 [3] 在假设 $g$ 为奇函数的前提下，确立了至少存在一个非径向解和一个径向解，但本文通过证明这两类解都存在无限序列，扩展了这些结果。
• 克服分析困难： 该工作表明，尽管存在“向中心坠落”（fall to the center）现象以及在临界常数下强制性的丧失，但当非线性具有奇对称性时，变分结构仍然足够稳健，能够支持无限解序列的存在。
• 方法论的严谨性： 论文严谨地处理了在扩大空间 $X^1$ 上定义能量泛函的问题，并验证了在这一奇异设定下应用抽象临界点定理所需的紧性性质。

作者明确指出，临界 Hardy 设定下的正则性理论尚未完全发展成熟，因此是否所有弱解都满足 Pohožaev 恒等式仍是一个开放性问题；然而，本文所构造的解是专门被选取以满足该恒等式的。