Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential

Résumé Technique : Multiplicité de solutions pour des équations de champ scalaire non linéaires avec un potentiel inverse-carré critique

Énoncé du Problème
L'article étudie la multiplicité des solutions de l'équation de champ scalaire non linéaire :
$$-\Delta u - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}u = g(u), \quad \text{dans } \mathbb{R}^N \setminus \{0\},$$
où $N \geq 3$. L'équation présente le potentiel de Hardy inverse-carré critique avec la constante optimale $\mu_c = (N-2)^2/4$. Ce coefficient spécifique place le problème au seuil critique de l'inégalité de Hardy, introduisant des défis analytiques significatifs. La non-linéarité $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est supposée continue, impaire et satisfait des conditions de croissance et de signe spécifiques (notées (G1)–(G5)), qui incluent une croissance sous-critique à l'infini et un comportement superlinéaire au voisinage de zéro.

Méthodologie et Cadre Fonctionnel
Les auteurs s'appuient sur le cadre fonctionnel établi dans leur travail précédent [3] et appliquent la théorie abstraite des points critiques développée par Ikoma [11].

1. Espace d'Énergie ($X^1$) : En raison de l'absence de coercivité de la forme quadratique associée à l'opérateur $-\Delta - \frac{(N-2)^2}{4|x|^2}$ sur l'espace de Sobolev standard $H^1(\mathbb{R}^N)$, l'espace d'énergie naturel est strictement plus large que $H^1(\mathbb{R}^N)$. Les auteurs utilisent $X^1(\mathbb{R}^N)$, défini comme la complétion de $H^1(\mathbb{R}^N)$ par rapport à une norme impliquant le terme de Hardy. Comme les intégrales standards dans le fonctionnel d'énergie ne sont pas bien définies pour les fonctions de $X^1 \setminus H^1$, les auteurs emploient une forme bilinéaire singulière $\xi(u, v)$ impliquant un processus limite pour définir le produit scalaire et la norme sur cet espace.
2. Symétrie et Sous-espaces : Pour établir la multiplicité, les auteurs restreignent le fonctionnel d'énergie à des sous-espaces spécifiques de $X^1(\mathbb{R}^N)$ :
   • Cas Radial : Le sous-espace des fonctions radialement symétriques $X^1_{\text{rad}}(\mathbb{R}^N)$ pour $N \geq 3$.
   • Cas Non-radial : Pour $N \geq 4$ et $N \neq 5$, les auteurs définissent un sous-espace $X$ constitué de fonctions invariantes sous un groupe de symétries spécifique ($O_2$) et antisymétriques par rapport à une involution $\tau(x_1, x_2, x_3) = (x_2, x_1, x_3)$. Cette construction garantit l'exclusion des fonctions radiales non triviales.
3. Approche Variationnelle : Les solutions sont recherchées comme points critiques du fonctionnel d'énergie $J(u) = \frac{1}{2}\xi(u) - \int_{\mathbb{R}^N} G(u) dx$, où $G$ est la primitive de $g$. Les auteurs utilisent le fonctionnel de Pohožaev $P(u)$ pour définir une variété de contrainte. Ils vérifient la condition $(PPS)_c$ (une variante de la condition de Palais-Smale incorporant l'identité de Pohožaev) pour le fonctionnel restreint.
4. Théorème de Point Critique : L'existence d'une infinité de solutions est dérivée du théorème de point critique abstrait d'Ikoma. Ce théorème exige que le fonctionnel soit pair (garanti par l'imparité de $g$) et satisfasse des conditions géométriques spécifiques (géométrie de type "mountain pass" et l'existence de cartes impaires de sphères dans l'espace de fonctions avec une énergie négative).

Contributions Clés et Résultats
La contribution principale de l'article est l'établissement de l'existence d'une infinité de solutions faibles distinctes à l'équation (1.1), catégorisées par leur symétrie :

• Solutions Radiales : Pour toute dimension $N \geq 3$, il existe une suite de solutions radiales faibles $(u_j)_{j=1}^\infty$ telle que l'énergie $J(u_j) \to \infty$ quand $j \to \infty$.
• Solutions Non-radiales : Pour les dimensions $N = 4$ ou $N \geq 6$, il existe une suite de solutions non-radiales faibles $(u_j)_{j=1}^\infty$ avec une énergie non bornée.
• Régularité : Les solutions obtenues sont montrées être de classe $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$. Si la non-linéarité $g$ est de classe Hölder, les solutions sont de classe $C^2(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$.
• Identité de Pohožaev : Les solutions construites satisfont l'identité de Pohožaev $P(u_j) = 0$.

Signification et Revendications
L'article prétend résoudre la question de la multiplicité pour le potentiel inverse-carré critique, un régime où les méthodes variationnelles standards échouent souvent en raison du manque d'invariance par translation et de la nature non standard de l'espace d'énergie.

• Extension des Travaux Précédents : Alors que le travail antérieur des auteurs [3] établissait l'existence d'au moins une solution non-radiale et d'une solution radiale (sous l'hypothèse que $g$ est impaire), ce présent article étend ces résultats pour prouver l'existence d'une infinité de solutions des deux types.
• Surmonter les Difficultés Analytiques : Ce travail démontre que malgré le phénomène de "chute vers le centre" (fall to the center) et la perte de coercivité à la constante critique, la structure variationnelle reste suffisamment robuste pour supporter une séquence infinie de solutions lorsque la non-linéarité possède une symétrie impaire.
• Rigueur Méthodologique : Le papier traite rigoureusement la définition du fonctionnel d'énergie sur l'espace élargi $X^1$ et valide les propriétés de compacité requises pour l'application des théorèmes de points critiques abstraits dans ce cadre singulier.

Les auteurs notent explicitement que la théorie de la régularité dans le cadre de Hardy critique n'est pas pleinement développée, et qu'il reste donc une question ouverte de savoir si toutes les solutions faibles satisfont l'identité de Pohožaev ; cependant, les solutions construites dans ce travail sont spécifiquement sélectionnées pour la satisfaire.