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On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

Die Arbeit leitet eine neue Formel für die Koeffizienten der regulären Teil der Laurent-Reihenentwicklung der sekundären Zetafunktion um den Pol $s=1$ her, die den Stieltjes-Konstanten ähnelt, und verifiziert diese numerisch unter Anwendung des Brent-Theorems zur Konvergenzverbesserung.

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Veröffentlicht 2026-03-24

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Artur Kawalec

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, die Mathematik ist ein riesiges, unendliches Universum, und in diesem Universum gibt es eine besondere Art von „Sternen", die man Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion nennt. Diese Sterne liegen alle auf einer unsichtbaren Linie (der sogenannten kritischen Linie). Ihre Positionen sind nicht zufällig, sondern folgen einem sehr strengen, aber geheimnisvollen Muster.

Der Autor dieses Artikels, Artur Kawalec, beschäftigt sich mit einer speziellen Art von „Karte" oder „Werkzeug", um diese Sterne zu verstehen. Er nennt es die sekundäre Zeta-Funktion.

Hier ist die einfache Erklärung dessen, was in dem Papier passiert, mit ein paar anschaulichen Vergleichen:

1. Das Problem: Ein unruhiger Berg

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Höhe eines Berges zu messen, aber genau dort, wo Sie stehen wollen (bei der Zahl $s=1$ ), gibt es einen gewaltigen, unendlichen Krater. In der Mathematik nennt man das einen „Pol".

Wenn man versucht, eine Formel zu schreiben, die diesen Berg beschreibt, explodieren die Zahlen in der Mitte des Kraters ins Unendliche. Das ist das Problem: Die Funktion ist an dieser Stelle „kaputt".

2. Die Lösung: Eine Landkarte mit feinen Details

Der Autor sagt: „Okay, wir können den Krater nicht füllen, aber wir können eine extrem detaillierte Landkarte um den Krater herum zeichnen."

In der Mathematik macht man das, indem man eine Reihenentwicklung (eine Art unendliche Summe) schreibt.

Die ersten beiden Teile der Formel beschreiben den Krater selbst (die „unendlichen" Teile).
Der Rest der Formel (die sogenannten Koeffizienten $C_n$ ) beschreibt die feinen Wellen und Unebenheiten des Geländes direkt neben dem Krater.

Diese Koeffizienten sind wie die Schaltpläne für die Landschaft. Wenn man sie kennt, versteht man das Verhalten der „Sterne" (der Nullstellen) viel besser.

3. Die neue Entdeckung: Eine bessere Formel für die Landkarte

Früher hatten Mathematiker bereits eine Idee, wie man diese Koeffizienten berechnet, aber die Formel war wie ein alter, schwerer LKW: Sie funktionierte, war aber langsam und ungenau, wenn man sehr weit in die Zahlenwelt reisen wollte.

Kawalec hat nun eine neue, leichtere Formel entwickelt (Theorem 1).

Die alte Methode: War wie das Zählen von jedem einzelnen Stern im Universum einzeln. Sehr mühsam und am Ende ungenau.
Die neue Methode: Ist wie ein smarter Filter. Sie sagt uns genau, wie wir die Summe der Sterne berechnen müssen und welche „Störgeräusche" (mathematische Fehler) wir am Ende abziehen müssen, um das wahre Ergebnis zu sehen.

Die Formel sieht kompliziert aus, aber im Kern sagt sie:

„Nimm die Summe aller Sterne bis zu einer bestimmten Grenze, ziehe eine berechenbare Korrektur ab, und was übrig bleibt, ist die genaue Zahl, die du suchst."

4. Der Trick: Der „BPT"-Beschleuniger

Das Papier erwähnt noch einen weiteren wichtigen Trick, den ein anderer Mathematiker namens Brent entwickelt hat.
Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, ein Glas Wasser zu füllen, aber es tropft am Rand aus.

Ohne den Trick müssen Sie warten, bis das Tropfen fast aufhört, um das genaue Volumen zu messen. Das dauert ewig.
Mit dem BPT-Trick (Theorem 2) setzen Sie einen kleinen „Abstreifer" an den Rand. Dieser fängt das Tropfen sofort auf und korrigiert die Messung.

Durch diesen Trick wird die Berechnung viel schneller und viel genauer.

Ohne Trick: Man ist nach 5 Dezimalstellen unsicher.
Mit Trick: Man ist nach 10 oder 12 Dezimalstellen sicher.

5. Was haben sie herausgefunden?

Der Autor hat diese neuen Formeln am Computer ausprobiert.

Er hat Millionen von „Sternen" (Nullstellen) durchgerechnet.
Er hat die neuen Koeffizienten ( $C_0, C_1, C_2$ , etc.) berechnet.
Das Ergebnis: Die neuen Formeln funktionieren perfekt! Sie liefern Zahlen, die mit den besten bisherigen Berechnungen übereinstimmen, aber viel effizienter sind.

Zusammenfassung in einem Satz

Dieser Artikel ist wie eine neue, hochpräzise Landkarte für ein mathematisches Wunderland, die uns erlaubt, die geheimnisvollen Muster der Zahlenwelt mit weniger Aufwand und viel größerer Genauigkeit zu verstehen, als es bisher möglich war.

Es ist ein Schritt vorwärts in der großen Jagd nach dem Verständnis der Zahlen, die das Fundament unserer Mathematik bilden.

Titel: Zur Reihenentwicklung der sekundären Zeta-Funktion um $s=1$ und deren Koeffizienten

1. Problemstellung

Die Arbeit befasst sich mit der sekundären Zeta-Funktion $Z(s)$ , die als verallgemeinerte Zeta-Reihe über die imaginären Teile $\gamma_n$ der nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion definiert ist:
$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$
Unter der Annahme der Riemannschen Hypothese (RH) liegen diese Nullstellen auf der kritischen Linie $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma_n$ . Die Funktion $Z(s)$ konvergiert absolut für $\Re(s) > 1$ und lässt sich analytisch auf $\mathbb{C} \setminus \{1, -1, -3, \dots\}$ fortsetzen. Sie besitzt einen doppelten Pol bei $s=1$ sowie einfache Pole bei negativen ungeraden ganzen Zahlen.

Das zentrale Problem besteht darin, die Koeffizienten $C_n$ der regulären Teils der Laurent-Reihenentwicklung um den Pol $s=1$ zu bestimmen. Die Entwicklung lautet:
$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!} (s-1)^n$
Bisherige Berechnungen dieser Koeffizienten (insbesondere $C_0$ ) waren entweder auf numerische Approximationen mit begrenzter Genauigkeit angewiesen oder basierten auf komplexen Algorithmen (wie dem von Arias De Reyna), ohne eine geschlossene, direkt berechenbare Grenzformel für alle $n$ zu bieten.

2. Methodik

Der Autor leitet eine neue, geschlossene Grenzformel für die Koeffizienten $C_n$ her, die auf der Analyse der Summen über die Nullstellen und der asymptotischen Verteilung dieser Nullstellen basiert.

Analytische Herleitung:
- Es wird die Zählfunktion der Nullstellen $N(T)$ unter Verwendung der Riemann-von-Mangoldt-Asymptotik $N(T) = L(T) + Q(T)$ betrachtet, wobei $L(T)$ der dominante Term und $Q(T)$ der Fehlerterm ist.
- Durch partielle Integration und die Verwendung von Stieltjes-Integralen wird die Beziehung zwischen den Summen $\sum \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma}$ und den Koeffizienten $C_n$ hergestellt.
- Der Autor nutzt Ergebnisse von Ivić, Hassani und Brent (BPT), um die konvergente Struktur der Integrale zu isolieren.
Theorem 1 (Neue Formel):
Es wird bewiesen, dass die Koeffizienten $C_n$ für $n \ge 0$ durch folgenden Grenzwert gegeben sind:
$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$
Diese Formel ähnelt der Struktur der Stieltjes-Konstanten für die Riemannsche Zeta-Funktion.
Theorem 2 (Verbesserte Konvergenz):
Um die langsame Konvergenz der direkten Summation zu überwinden, wird der Brent'sche (BPT) Theorem angewendet. Dies führt zu einer Korrektur des Fehlerterms $E(T)$ , der von $O(\frac{\log^{n+1} T}{T})$ auf $O(\frac{\log^{n+1} T}{T^2})$ verbessert wird. Dies ermöglicht eine viel schnellere Konvergenz bei numerischen Berechnungen mit endlichen $T$ .

3. Wichtige Beiträge

Herleitung einer allgemeinen Formel: Der Artikel liefert erstmals eine explizite Grenzformel (Theorem 1) für alle Koeffizienten $C_n$ der Laurent-Reihe, nicht nur für den Spezialfall $n=0$ .
Verbindung zur Stieltjes-Struktur: Die Formel zeigt eine strukturelle Analogie zu den Stieltjes-Konstanten, was das theoretische Verständnis der sekundären Zeta-Funktion vertieft.
Verbesserung der numerischen Effizienz: Durch die Integration des BPT-Theorems (Theorem 2) wird der Fehlerterm signifikant reduziert. Dies erlaubt es, mit einer begrenzten Anzahl von Nullstellen (z. B. $2 \cdot 10^6$ ) eine hohe Präzision zu erreichen, ohne auf extrem große Datenbanken zurückgreifen zu müssen.
Korrektur früherer Werte: Der Autor weist auf eine Diskrepanz in früheren Berechnungen (insbesondere bei $C_0$ ) hin, die durch einen Faktor $\log^2(2\pi)/(4\pi)$ verursacht wurde, und liefert korrigierte Werte.

4. Ergebnisse

Numerische Verifikation: Die neuen Formeln wurden für $n = 0, 1, 2$ $n = 0, 1, 2$ mit einer Datenbank von 2 Millionen nicht-trivialen Nullstellen getestet.
- Ohne BPT-Korrektur wurden ca. 3–5 Dezimalstellen Genauigkeit erreicht.
- Mit BPT-Korrektur stieg die Genauigkeit drastisch an:
  - Für $C_0$ : 12 korrekte Dezimalstellen.
  - Für $C_1$ und $C_2$ : 10 korrekte Dezimalstellen.
Referenztabelle: Der Autor stellt eine Tabelle mit 50-stelligen Werten für $C_n$ ( $0 \le n \le 50$ ) bereit, die zuvor mit dem Arias-De-Reyna-Algorithmus berechnet wurden. Diese Tabelle dient als Referenz für zukünftige Studien.
Konvergenzverhalten: Es wurde gezeigt, dass die Genauigkeit mit steigendem $n$ und ohne Korrekturterm rapide abnimmt, was die Notwendigkeit der BPT-Methode unterstreicht.

5. Bedeutung

Dieser Artikel stellt einen wesentlichen Fortschritt in der analytischen Zahlentheorie dar, insbesondere im Bereich der Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion und ihrer Ableitungen.

Theoretisch: Er schließt eine Lücke in der Theorie der sekundären Zeta-Funktion, indem er eine systematische Methode zur Berechnung der Laurent-Koeffizienten liefert.
Praktisch: Die vorgestellte Methode zur Fehlerreduktion macht hochpräzise Berechnungen dieser Konstanten mit vertretbarem Rechenaufwand möglich. Dies ist relevant für die Validierung von Hypothesen über die Verteilung der Nullstellen und für die Entwicklung von Algorithmen zur Hochpräzisionsarithmetik in der Zahlentheorie.
Die Arbeit bestätigt und erweitert frühere Arbeiten von Hassani, Brent und Arias De Reyna, indem sie diese in einem konsistenten analytischen Rahmen zusammenführt und erweitert.