On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

논문 요약: 2 차 제타 함수의 s=1 부근 급수 전개 및 계수 공식 유도

1. 문제 제기 (Problem)

• 2 차 제타 함수 (Secondary Zeta Function) 의 정의: 리만 제타 함수의 비자명한 영점 (non-trivial zeros) 의 허수부 $\gamma_n$을 기반으로 정의된 일반화된 제타 급수 $Z(s) = \sum_{\gamma} \gamma^{-s}$를 다룹니다. (리만 가설 (RH) 을 가정하여 $\rho = 1/2 + i\gamma_n$으로 표현).
• 수렴 영역 및 특이점: 이 함수는 $\Re(s) > 1$에서 절대 수렴하며, $s=1$에서 2 차 극점 (double pole) 을, 음의 홀수 정수에서 1 차 극점을 가집니다.
• 연구 목표: $s=1$에서의 로랑 급수 (Laurent series) 전개식에서 정규 부분 (regular part) 의 계수 $C_n$에 대한 새로운 공식을 유도하고, 이를 수치적으로 검증하는 것입니다. 기존에는 Ivic 등이 주어진 전개식을 유도했으나, 계수 $C_n$에 대한 명시적인 극한 공식은 제한적이었습니다.

2. 방법론 (Methodology)

논문은 다음과 같은 수학적 도구를 사용하여 계수 $C_n$에 대한 새로운 공식을 유도하고 검증했습니다.

• 적분 항등식 및 부분 적분:
  • 영점 계수 함수 $N(T)$와 리만 - 폰 망골트 (Riemann-von Mangoldt) 점근 공식 $N(T) = L(T) + Q(T)$를 활용합니다. 여기서 $L(T)$는 주된 항, $Q(T)$는 오차 항 ($S(T) + f(T)$) 입니다.
  • Brent (BPT) 의 이전 연구를 바탕으로, $\sum \frac{\log^m(\gamma)}{\gamma}$ 형태의 합을 적분 형태로 변환하고 부분 적분을 반복하여 주된 항과 오차 항을 분리합니다.
• 새로운 극한 공식 유도 (Theorem 1):
  • $s=1$에서의 로랑 전개 계수 $C_n$에 대해 다음과 같은 새로운 극한 공식을 유도했습니다:
    $$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$$
  • 이 공식은 Stieltjes constants(리만 제타 함수의 계수) 공식과 유사한 형태를 띱니다.
• 수렴성 개선 (Brent's Theorem 적용):
  • 기존 공식의 오차 항이 $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T})$임을 확인하고, Brent 의 BPT 정리를 적용하여 오차 항을 $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T^2})$ 수준으로 개선하는 보정 항을 추가했습니다 (Theorem 2).

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 계수 $C_n$에 대한 일반화된 극한 공식 제시: $n \ge 0$인 모든 정수 $n$에 대해 $C_n$을 계산할 수 있는 새로운 극한 공식 (식 3) 을 최초로 유도했습니다. 이는 Hassani 가 $n=0$인 경우에만 증명했던 것을 일반화한 것입니다.
2. 정밀한 수치 계산 및 검증:
   • Arias De Reyna (ADR) 알고리즘을 사용하여 $C_n$ 계수 ($0 \le n \le 50$) 를 소수점 50 자리까지 계산하여 참조 표 (Table 1) 를 제공했습니다.
   • 200 만 개의 비자명한 영점 데이터를 사용하여 유도된 공식 (식 3) 을 직접 계산하고, 기존에 알려진 값과 비교하여 정확도를 검증했습니다.
3. 수렴 속도 개선 알고리즘 제안: Brent 의 정리를 적용하여 오차 항을 줄이고, 주어진 $T$ 값에서 훨씬 더 높은 정밀도 (예: $n=0$의 경우 5 자리에서 12 자리로 정확도 향상) 를 얻을 수 있음을 보였습니다.

4. 결과 (Results)

• 계수 값: $C_0 \approx 0.2516367513...$, $C_1 \approx -0.1300444859...$, $C_2 \approx 0.0824214912...$ 등 50 개 이상의 계수 값을 50 자리 정밀도로 확보했습니다.
• 직접 계산 검증:
  • $T \approx 1,131,944$ (약 200 만 개의 영점) 를 사용하여 $n=0, 1, 2$에 대해 공식을 직접 계산했습니다.
  • 보정 항을 적용하기 전에는 소수점 35 자리까지 일치했으나, **Brent 의 보정 항 (Theorem 2) 을 적용한 후에는 소수점 1012 자리까지 정확히 일치**함을 확인했습니다.
• 오차 분석: 보정 항을 적용함으로써 오차의 차수가 $1/T$에서 $1/T^2$로 개선되어, 동일한 계산량으로 훨씬 더 높은 정밀도를 달성할 수 있음을 입증했습니다.

5. 의의 및 중요성 (Significance)

• 이론적 심화: 2 차 제타 함수의 구조를 더 깊이 이해하는 데 기여하며, 리만 제타 함수의 Stieltjes constants 와의 유사성을 명확히 했습니다.
• 계산 효율성: Brent 의 정리를 적용한 보정 공식은 고차 계수 $C_n$을 계산할 때 필요한 영점의 수를 줄이거나, 동일한 영점 수로 훨씬 더 높은 정밀도를 얻을 수 있게 하여, 향후 고정밀 수치 계산 연구에 필수적인 도구가 됩니다.
• 데이터 제공: 50 자리 정밀도의 $C_n$ 계수 테이블은 향후 관련 연구 (예: 영점 분포 연구, 제타 함수의 해석적 성질 연구 등) 를 위한 중요한 기준 데이터 (Reference Table) 로 활용될 것입니다.

이 논문은 2 차 제타 함수의 급수 전개 계수에 대한 이론적 공식을 완성하고, 이를 수치적으로 정밀하게 검증하며, 계산 효율성을 극대화하는 방법을 제시했다는 점에서 수론 및 해석학 분야에서 중요한 성과를 거두었습니다.