On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

Titolo: Sulla serie di espansione della funzione zeta secondaria attorno a $s=1$ e sui suoi coefficienti

1. Il Problema e il Contesto

Il documento si concentra sulla funzione zeta secondaria, definita come una serie generalizzata sulle parti immaginarie positive ($\gamma_n$) degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, assumendo l'ipotesi di Riemann (RH). La funzione è definita come:
$$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$$
che converge assolutamente per $\Re(s) > 1$.

La funzione ammette un'espansione in serie di Laurent attorno al punto $s=1$, dove presenta un polo doppio. L'espansione è data da:
$$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!}(s-1)^n$$
I coefficienti $C_n$ della parte regolare sono analoghi alle costanti di Stieltjes per la funzione zeta di Riemann. Sebbene la struttura della serie fosse nota (derivata da Ivić), una formula esplicita e generalizzata per calcolare questi coefficienti $C_n$ per ogni $n \geq 0$ non era stata completamente formalizzata in forma di limite computabile in modo efficiente.

2. Metodologia

L'autore impiega un approccio analitico basato sulla teoria dei numeri e sull'analisi asintotica, combinato con verifiche numeriche ad alta precisione.

• Derivazione Analitica:

  • Si parte dalla funzione di conteggio degli zeri $N(T)$ e dalla sua approssimazione asintotica di Riemann-von Mangoldt $N(T) = L(T) + Q(T)$, dove $L(T)$ è il termine dominante e $Q(T)$ è il termine di errore (legato alla funzione $S(T)$).
  • Utilizzando l'integrazione per parti e la formula di Stieltjes, l'autore trasforma la somma sugli zeri in un integrale che coinvolge $Q(t)$.
  • Viene dimostrata un'identità integrale che collega la somma parziale $\sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma}$ a una costante asintotica più un termine di errore.
  • Attraverso lo sviluppo in serie di potenze dell'integrale residuo attorno a $s=1$, si ricava una relazione diretta tra i coefficienti della serie di Laurent ($C_n$) e un limite che coinvolge somme finite sugli zeri.

• Verifica Numerica:

  • L'autore utilizza un database di 2 milioni di zeri non banali ($N(T) = 2 \times 10^6$) per calcolare direttamente le somme parziali.
  • Vengono confrontati i risultati ottenuti con la nuova formula limite rispetto a valori di riferimento calcolati precedentemente con l'algoritmo di Arias De Reyna (ADR), noto per la sua alta precisione.

• Ottimizzazione della Convergenza:

  • Viene applicato il Teorema di Brent (BPT) per migliorare il termine di errore nella formula di approssimazione. Invece di affidarsi solo all'ordine di errore originale $O(\frac{\log^{n+1} T}{T})$, si aggiunge un termine correttivo esplicito basato sulla differenza tra $N(T)$ e la sua approssimazione asintotica $L(T)$, riducendo l'errore a $O(\frac{\log^{n+1} T}{T^2})$.

3. Contributi Chiave

• Nuova Formula Limite (Teorema 1):
  L'autore deriva una formula generale per i coefficienti $C_n$ valida per ogni $n \geq 0$:
  $$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$$
  Questa formula generalizza i risultati precedenti noti solo per casi specifici (es. $n=0$).

• Correzione e Conferma Numerica:
  Il lavoro conferma e corregge precedenti calcoli (inclusi quelli dell'autore stesso in lavori precedenti) relativi a $C_0$, risolvendo un fattore di offset logaritmico. Vengono forniti i valori di $C_n$ per $0 \leq n \leq 50$ con 50 cifre decimali di precisione.

• Miglioramento della Convergenza (Teorema 2):
  Viene presentata una versione modificata della formula che include un termine correttivo derivato dal lavoro di Brent. Questo permette di ottenere una precisione significativamente superiore con lo stesso numero di zeri calcolati, riducendo l'errore di un fattore $1/T$.

4. Risultati

• Calcolo dei Coefficienti:
  È stata generata una tabella di riferimento (Tabella 1) contenente i valori di $C_n$ per $n$ da 0 a 50. Ad esempio:

  • $C_0 \approx 0.25163675131270596653...$
  • $C_1 \approx -0.13004448591188857072...$
  • $C_2 \approx 0.08242149125505280395...$
    I coefficienti mostrano una crescita rapida in modulo per $n$ elevati (es. $C_{50}$ è dell'ordine di $10^{46}$).

• Validazione della Formula:

  • Per $n=0$, il calcolo diretto con 2 milioni di zeri ha prodotto un risultato accurato a 5 cifre decimali.
  • Applicando il Teorema 2 (con il termine correttivo di Brent), la precisione è salita a 12 cifre decimali per $C_0$, 10 cifre per $C_1$ e $C_2$, con errori stimati inferiori a $10^{-10}$.

• Analisi dell'Errore:
  L'analisi dimostra che senza il termine correttivo, la convergenza è lenta e richiede un numero enorme di zeri per alta precisione. Con il termine di Brent, la convergenza è drasticamente accelerata.

5. Significato e Implicazioni

• Avanzamento Teorico: Il lavoro fornisce un collegamento esplicito e computabile tra le proprietà asintotiche della distribuzione degli zeri di Riemann e i coefficienti della serie di Laurent della funzione zeta secondaria.
• Strumento Computazionale: La formula derivata offre un metodo pratico per calcolare i coefficienti $C_n$ senza dover ricorrere esclusivamente a metodi di integrazione complessa ad altissima precisione (come l'algoritmo ADR), rendendo possibile la verifica incrociata dei risultati.
• Ottimizzazione: L'applicazione del Teorema di Brent dimostra come tecniche di correzione dell'errore possano essere integrate in formule di limite per ottenere precisione ad alta velocità, un aspetto cruciale per la ricerca numerica in teoria dei numeri.
• Risorse Future: La tabella dei coefficienti fornita serve come riferimento fondamentale per futuri studi sulle proprietà analitiche delle funzioni zeta generalizzate e sulle connessioni con la distribuzione degli zeri di Riemann.

In sintesi, l'articolo risolve un problema di calcolo analitico derivando una formula limite generale, la verifica numericamente con alta precisione e ne ottimizza l'efficienza computazionale, fornendo un set di dati di riferimento di alta qualità per la comunità matematica.