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On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

本文在黎曼猜想成立的假设下，推导了次级 zeta 函数在 $s=1$ 处正则部分的级数展开系数新公式（类比于 Stieltjes 常数），并通过高精度数值验证及 Brent 定理加速收敛技术对其进行了验证。

原作者： Artur Kawalec

发布于 2026-03-24

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原作者： Artur Kawalec

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇文章就像是在给一个神秘的“数学宇宙”绘制更精准的地图。

为了让你轻松理解，我们可以把这篇论文的核心内容想象成寻找隐藏在巨大迷宫中的宝藏，并试图用一种更聪明的方法去计算宝藏的坐标。

1. 背景：迷宫里的“幽灵” (黎曼ζ函数与零点)

想象一下，数学家们发现了一个巨大的迷宫，叫做黎曼ζ函数。在这个迷宫里，有一些特殊的点，被称为“非平凡零点”。

如果黎曼猜想 (RH) 是真的（就像假设迷宫的墙壁都是直的），那么这些零点就像是一排排整齐排列的“幽灵”，它们都站在一条名为“临界线”的直线上。
每个幽灵都有一个独特的“身高”（记作 $\gamma$ ），比如第一个幽灵身高约 14.13，第二个约 21.02，以此类推。

2. 主角：次级ζ函数 (Secondary Zeta Function)

作者把注意力集中在了这些“幽灵”的身高上。他定义了一个新的函数，叫次级ζ函数。

通俗比喻：这就好比你在收集所有幽灵的身高数据，然后把这些数据倒过来（ $1/\gamma^s$ ）加在一起，试图找出它们背后的规律。
这个函数在数学上非常“调皮”，它在某个特定的点（ $s=1$ ）会“爆炸”（变成无穷大），就像是一个双孔的火山口。

3. 核心任务：火山口的“地形图” (级数展开)

当函数在 $s=1$ 处“爆炸”时，数学家们想知道爆炸中心周围的具体地形是什么样的。

之前的做法：就像用粗糙的网格去测量火山口，只能大概知道那里有个坑，但坑底的具体形状（系数 $C_n$ ）很难算准。
本文的突破：作者 Artur Kawalec 发明了一个新的公式（公式 3）。
- 比喻：以前我们只能数到 100 个幽灵的身高，然后猜剩下的。现在，作者发现了一个**“魔法修正项”**。这个公式告诉我们：只要把前 $T$ 个幽灵的身高加起来，再减去一个精心设计的“修正值”（就像减去背景噪音），剩下的结果就会神奇地收敛到一个固定的常数。
- 这个常数就是我们要找的“宝藏坐标”（系数 $C_n$ ）。

4. 验证：从“猜谜”到“精准测量”

作者不仅提出了理论，还像个严谨的侦探一样进行了数值验证：

初步测试：他用了 200 万个幽灵的数据进行计算。
- 对于第 0 个系数（ $C_0$ ），直接算出来的结果和理论值在小数点后 5 位吻合。
- 对于第 1 个系数（ $C_1$ ），吻合了4 位。
- 这说明公式是对的，但随着我们要算的系数越往后（ $n$ 越大），需要的幽灵数量就越多，就像要画更精细的地图需要更多的测量点。

5. 终极武器：Brent 定理 (BPT) —— 给测量仪装上“减震器”

这是文章最精彩的部分。作者发现，虽然公式是对的，但直接计算时，误差（噪音）下降得有点慢。

比喻：想象你在听远处的钟声，但周围有风声干扰。直接听（原始公式），你只能听清大概。
BPT 定理的作用：作者引入了 Brent 的定理，就像给测量仪装了一个高级“减震器”和“降噪耳机”。
- 通过加上一个额外的修正项（公式 44 中的那一大串），他成功地把误差降低了 1000 倍甚至更多（从 $1/T$ 变成了 $1/T^2$ ）。
效果：
- 加上这个“减震器”后，原本只能算对 5 位的 $C_0$ ，现在能算对12 位！
- 原本算对 4 位的 $C_1$ ，现在能算对10 位！
- 这就像原本只能看清模糊的轮廓，现在能看清指纹一样清晰。

总结

这篇文章做了一件很酷的事情：

发现新地图：推导出了一个计算“幽灵身高总和”规律的新公式。
制造新工具：利用现有的数学定理（BPT），给这个公式加上了“降噪功能”。
结果：让数学家们能以极低的成本（不需要算几亿个幽灵），就能极其精确地计算出这些神秘的数学常数。

这就好比，以前我们要数清整个海洋里的沙粒才能知道海水的平均温度，现在作者发明了一种方法，只要舀起一杯水，再配合一个特殊的温度计，就能瞬间算出整个海洋的温度，而且准得惊人。

以下是基于 Artur Kawalec 论文《On the series expansion of the secondary zeta function about s = 1 and its coefficients》（关于次级 Zeta 函数在 s=1 处的级数展开及其系数）的详细技术总结：

1. 研究背景与问题 (Problem)

次级 Zeta 函数 (Secondary Zeta Function) 定义为黎曼 Zeta 函数非平凡零点虚部 $\gamma_n$ 的广义 Zeta 级数：
$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$
该级数在 $\Re(s) > 1$ 时绝对收敛。假设黎曼猜想 (RH) 成立，非平凡零点位于临界线 $\rho = 1/2 + i\gamma_n$ 上。

核心问题：
次级 Zeta 函数 $Z(s)$ 在复平面上具有奇点，特别是在 $s=1$ 处有一个二阶极点，在负奇数整数处有一阶极点。已知 $Z(s)$ 在 $s=1$ 处的洛朗级数 (Laurent series) 展开形式为：
$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!}(s-1)^n$
其中 $C_n$ 是正则部分的展开系数。

现有挑战： 虽然 Ivić 等人推导了该展开式，但计算系数 $C_n$ 的显式公式（特别是类似于黎曼 Zeta 函数中 Stieltjes 常数的公式）尚不完善。
计算难点： 直接通过数值求和计算 $C_n$ 收敛极慢，且需要极高精度的零点数据，之前的计算（如 Hassani 和 Brent 的工作）仅针对 $n=0$ 或低阶项进行了有限精度的计算。

2. 方法论 (Methodology)

本文采用解析推导与高精度数值验证相结合的方法：

解析推导 (Analytical Derivation)：
- 利用零点计数函数 $N(T)$ 的 Riemann-von Mangoldt 渐近公式，将其分解为主项 $L(T)$ 和余项 $Q(T)$ （包含 $S(T)$ 和 $f(T)$ ）。
- 通过分部积分法处理积分 $\int \frac{\log^m(t)}{t} dN(t)$ ，将离散的零点求和转化为连续积分与边界项的组合。
- 利用 Stieltjes 积分技术，将 $Z(s)$ 的积分表示式在 $s=1$ 附近进行展开，建立积分余项与洛朗系数 $C_n$ 之间的精确联系。
- 推导了 $C_n$ 的极限表达式，证明了其收敛性。
数值计算 (Numerical Computation)：
- 利用 Arias De Reyna (ADR) 算法 进行高精度计算，该算法能高效计算任意复数 $s$ 处的 $Z(s)$ 值。
- 构建了包含 200 万 ( $2 \times 10^6$ ) 个非平凡零点的数据库，用于直接验证极限公式。
- 应用 Brent (BPT) 定理 引入修正项，以显著改善求和公式的收敛速度。

3. 关键贡献 (Key Contributions)

提出了 $C_n$ 系数的新极限公式 (Theorem 1)：
文章推导出了适用于 $n \ge 0$ 的通用公式，形式类似于 Stieltjes 常数：
$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$
该公式将离散的零点求和与一个解析的主项分离，使得 $C_n$ 的计算成为可能。
建立了系数与积分余项的精确联系：
证明了 $C_n$ 可以表示为包含 $Q(t)$ （零点计数函数的误差项）的积分形式：
$C_n = (-1)^n \int_1^\infty \frac{\log^n(t) - n\log^{n-1}(t)}{t^2} Q(t) dt + \delta_{n,0}(-Q(1))$
这为理解系数的解析性质提供了理论基础。
应用 Brent (BPT) 定理优化收敛性 (Theorem 2)：
针对直接数值求和收敛慢的问题（误差为 $O(\frac{\log^{m+1} T}{T})$ ），文章应用 Brent 的改进技术，引入了一个额外的修正项：
$-\frac{\log^n(T)}{T} [N(T) - L(T)]$
这使得误差项从 $O(1/T)$ 提升至 $O(1/T^2)$ ，极大地提高了数值计算的效率和精度。
高精度数值表：
利用 ADR 算法，计算并发布了 $n=0$ 到 $n=50$ 的系数 $C_n$ 的参考表，精度达到 50 位小数。

4. 研究结果 (Results)

公式验证： 使用 200 万个零点直接计算 $n=0, 1, 2$ $n = 0, 1, 2$ 的情况。
- 未加修正项时，直接求和仅能精确到 3-5 位小数。
- 应用 BPT 修正项 后，精度显著提升：
  - $C_0$ 精确到 12 位 小数。
  - $C_1$ 和 $C_2$ 精确到 10 位 小数。
系数数值：
- $C_0 \approx 0.2516367513...$ (与 Hassani 和 Brent 的早期结果一致，但精度更高)。
- 随着 $n$ 的增加，系数 $C_n$ 的绝对值迅速增大（例如 $C_{50} \approx -8.9 \times 10^{46}$ ），显示出该级数在 $s=1$ 附近的复杂行为。
收敛性分析： 证实了通过引入 $N(T) - L(T)$ 的修正项，可以将收敛速度提高一个数量级，这对于计算高阶系数至关重要。

5. 意义与影响 (Significance)

理论价值： 该研究为次级 Zeta 函数的解析性质提供了新的视角，特别是建立了其与黎曼 Zeta 函数 Stieltjes 常数之间的类比关系，深化了对零点分布统计特性的理解。
计算突破： 提出的极限公式和 BPT 修正方法解决了长期以来 $C_n$ 系数难以高精度计算的难题。这使得研究人员能够生成高精度的系数表，用于进一步的数值分析和假设检验。
算法优化： 展示了如何利用解析数论中的渐近公式（如 Riemann-von Mangoldt 公式）结合数值方法（BPT 定理）来加速收敛，为处理涉及黎曼零点的其他复杂求和问题提供了通用的技术范式。
数据资源： 论文提供的 50 位精度的 $C_n$ 系数表（ $n \le 50$ ）是一个宝贵的参考资源，可用于验证未来的理论推导或数值算法。

总结：
Artur Kawalec 的这篇论文通过严谨的解析推导和先进的数值技术，成功推导出了次级 Zeta 函数在 $s=1$ 处展开系数的通用极限公式，并通过引入 Brent 修正项显著提高了计算精度。这项工作不仅填补了该领域理论公式的空白，还生成了高精度的数值数据，为研究黎曼 Zeta 函数零点的深层性质提供了强有力的工具。