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On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

El artículo presenta una nueva fórmula para los coeficientes de la parte regular de la expansión en serie de Laurent de la función zeta secundaria alrededor de $s=1$ , la cual se verifica numéricamente con alta precisión y se optimiza mediante el Teorema de Brent para mejorar su convergencia.

Autores originales: Artur Kawalec

Publicado 2026-03-24

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CC BY 4.0

Autores originales: Artur Kawalec

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que los números primos son como las notas de una canción infinita y misteriosa. Los matemáticos han descubierto que estas notas no están distribuidas al azar, sino que siguen un patrón oculto. Este patrón se esconde en unos puntos especiales llamados "ceros no triviales" de la función zeta de Riemann.

El autor de este artículo, Artur Kawalec, se dedica a estudiar una herramienta llamada Función Zeta Secundaria. Para entenderla, hagamos una analogía:

1. La Analogía del Orquesta y el Director

Imagina que la Función Zeta de Riemann es el director de orquesta que organiza toda la música. Los "ceros" son las notas individuales que tocan los músicos (los números primos).

La Función Zeta Secundaria es como un ingeniero de sonido que no escucha la música completa, sino que se enfoca solo en la altura (la frecuencia) de cada nota. En matemáticas, esta "altura" se llama parte imaginaria ( $\gamma$ ).

El problema es que hay infinitas notas y, si intentas sumar sus alturas de una manera sencilla, la suma explota y se vuelve infinita (como intentar llenar un vaso con agua que nunca termina de llenarse).

2. El Problema del "Punto de Quiebre"

El artículo se centra en un momento muy específico: cuando intentamos analizar estas notas cerca de un valor llamado $s = 1$ .

En este punto, la función se comporta como un edificio que está a punto de colapsar. Matemáticamente, tiene un "polo doble" (una doble explosión). Para entender qué pasa justo antes de que todo se rompa, los matemáticos usan una expansión de serie.

Piensa en esto como tratar de describir el comportamiento de un cohete justo antes de despegar. No puedes solo decir "vuela", necesitas una fórmula muy precisa que diga: "Primero sube lento, luego acelera, luego hay un pequeño temblor...".

Esa fórmula precisa tiene dos partes:

La parte del desastre: Las partes que explotan (los términos con $(s-1)$ en el denominador).
La parte regular (los coeficientes $C_n$ ): Esta es la parte que nos interesa. Son como los "ajustes finos" o los detalles sutiles del despegue que permanecen estables.

3. La Gran Descubierta: Una Nueva Receta

Antes de este artículo, los matemáticos sabían que existían estos ajustes finos (llamados coeficientes $C_n$ ), pero calcularlos era como intentar adivinar el sabor de un pastel sin poder probarlo, solo viendo la receta antigua.

Kawalec ha escrito una nueva receta.

La vieja forma: Era como intentar medir la altura de una montaña sumando cada grano de arena uno por uno. Era lento y muy propenso a errores.
La nueva fórmula (Teorema 1): Kawalec ha encontrado una manera de calcular estos coeficientes usando una "resta inteligente". Imagina que tienes una montaña de arena (la suma de todas las notas) y sabes exactamente cuánta arena debería haber según la teoría. En lugar de contar toda la arena, tomas la montaña real, restas la montaña teórica, y lo que queda es el "error" que, al hacer la resta perfecta, te revela el valor exacto del coeficiente.

4. El Truco del "Acelerador" (Teorema de Brent)

El artículo también menciona un problema: incluso con la nueva receta, si quieres una precisión extrema (muchos decimales), necesitas contar millones de notas, lo cual tarda mucho tiempo.

Aquí entra en juego el Teorema de Brent (BPT).

La analogía: Imagina que estás corriendo hacia una meta. La fórmula original te hace correr a paso normal. El Teorema de Brent es como ponerle un turbo a tus zapatos.
¿Qué hace? En lugar de esperar a que el error se reduzca lentamente, el teorema añade un pequeño "correcaminos" matemático que elimina el error mucho más rápido.
El resultado: En el artículo, Kawalec muestra que con este turbo, la precisión salta de ser correcta en 5 decimales a ser correcta en 12 decimales usando la misma cantidad de datos. ¡Es como pasar de ver una foto borrosa a una imagen en 4K!

5. ¿Por qué importa esto?

Aunque suena muy abstracto, esto es como afinar un instrumento de precisión.

Los coeficientes que calcula Kawalec son como las "huellas dactilares" de la distribución de los números primos.
Si logramos calcular estos números con una precisión increíble (el artículo calculó 50 dígitos exactos), nos ayuda a verificar si la Hipótesis de Riemann (la idea de que todas las notas están perfectamente alineadas) es realmente cierta.
Es como si, al medir la vibración de una cuerda de violín con una precisión de un átomo, pudiéramos saber si el universo entero está construido sobre una base matemática perfecta.

En resumen

Este artículo es como un manual de instrucciones actualizado para un equipo de exploradores matemáticos.

Identifican un mapa antiguo (la función zeta secundaria).
Dibujan una nueva ruta más eficiente para encontrar tesoros ocultos (los coeficientes $C_n$ ).
Instalan un motor de alta velocidad (el Teorema de Brent) para llegar a esos tesoros mucho más rápido y con mayor precisión que nunca antes.

Es un trabajo que combina la belleza de la teoría pura con la fuerza bruta de la computación moderna para desvelar uno de los secretos más profundos de las matemáticas.

1. El Problema

La función zeta secundaria, denotada como $Z(s)$ , se define como una serie zeta generalizada sobre las partes imaginarias positivas ( $\gamma_n$ ) de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, asumiendo la Hipótesis de Riemann (HR). Su definición es:
$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$
Esta función converge absolutamente para $\Re(s) > 1$ y puede extenderse analíticamente a todo el plano complejo, excepto en $s=1$ (donde tiene un polo doble) y en enteros negativos impares (polos simples).

El problema central abordado en el artículo es la determinación precisa de los coeficientes $C_n$ en la expansión de Laurent de $Z(s)$ alrededor del polo doble en $s=1$ . La expansión toma la forma:
$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!}(s-1)^n$
Anteriormente, los coeficientes $C_n$ (análogos a las constantes de Stieltjes para la función zeta de Riemann) se conocían mediante algoritmos computacionales complejos (como el de Arias De Reyna) o se habían calculado numéricamente para casos específicos ( $n=0$ ) con limitaciones en la precisión y la generalidad de la fórmula límite.

2. Metodología

El autor emplea una combinación de análisis asintótico, integración por partes y técnicas de estimación de errores para derivar una nueva fórmula límite para los coeficientes $C_n$ .

Derivación Analítica:
- Se utiliza la función de conteo de ceros $N(T)$ y su descomposición en un término dominante $L(T)$ (fórmula asintótica de Riemann-von Mangoldt) y un término de error $Q(T) = S(T) + f(T)$ .
- Se aplica integración por partes a la identidad integral que relaciona la suma sobre los ceros con la función $N(T)$ .
- Se introduce un factor logarítmico $\log^m(t)$ para generalizar la derivada de la función zeta secundaria.
- Se demuestra que la diferencia entre la suma parcial sobre los ceros y una función asintótica específica converge a una constante relacionada con $C_n$ .
Conexión con la Serie de Laurent:
- Se reproduce y adapta el trabajo de Ivić y otros para conectar la integral de la parte de error $Q(t)$ con la expansión en serie de potencias de $(s-1)$ .
- Se demuestra que los coeficientes $C_n$ pueden expresarse como límites de sumas sobre los ceros menos términos asintóticos dominantes.
Mejora de la Convergencia (Teorema de Brent - BPT):
- Para abordar la lenta convergencia numérica de las sumas directas sobre los ceros, el autor aplica el teorema de Brent (BPT).
- Esto permite refinar el término de error $E(T)$ , reduciéndolo de $O(\frac{\log^{m+1} T}{T})$ a $O(\frac{\log^{m+1} T}{T^2})$ mediante la inclusión de un término correctivo adicional basado en la diferencia $N(T) - L(T)$ .

3. Contribuciones Clave

Nueva Fórmula General (Teorema 1):
El artículo presenta una fórmula límite explícita y general para los coeficientes $C_n$ para todo $n \geq 0$ :
$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$
Esta fórmula es análoga a la definición de las constantes de Stieltjes para la función zeta de Riemann.
Prueba Rigurosa:
Se proporciona una demostración completa que vincula la definición integral de la función zeta secundaria con la expansión de Laurent, validando la existencia del límite y su valor.
Optimización Numérica (Teorema 2):
Se deriva una versión mejorada de la fórmula que incorpora el término correctivo de Brent. Esto permite calcular los coeficientes con mucha mayor precisión utilizando un número finito (y manejable) de ceros, reduciendo significativamente el error de truncamiento.
Tabla de Referencia:
Se genera y publica una tabla de referencia con los coeficientes $C_n$ calculados hasta $n=50$ con una precisión de 50 dígitos decimales, obtenidos mediante el algoritmo de Arias De Reyna y verificados con la nueva fórmula.

4. Resultados Numéricos

El autor valida las fórmulas teóricas mediante cálculos numéricos utilizando una base de datos de 2 millones de ceros no triviales ( $N=2 \times 10^6$ ):

Caso $n=0$ (Constante $C_0$ ):
- Cálculo directo sin corrección: Precisión de ~5 decimales.
- Cálculo con corrección BPT: Precisión de 12 decimales ( $C_0 \approx 0.2516367513125...$ ), con un error estimado $E_2(T) < 4.56 \times 10^{-12}$ .
Caso $n=1$ y $n=2$ :
- La aplicación del método mejorado permite alcanzar precisiones de 10 decimales para $C_1$ y $C_2$ , superando ampliamente los resultados obtenidos por métodos directos.
Tabla de Coeficientes:
Se confirma que los coeficientes crecen rápidamente en magnitud (del orden de $10^{46}$ para $n=50$ ), lo que subraya la necesidad de alta precisión aritmética en su cálculo.

5. Significado e Impacto

Unificación Teórica: La fórmula derivada establece un puente claro entre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann y los coeficientes de la expansión de la función zeta secundaria, generalizando resultados previos limitados a casos específicos ( $n=0$ ).
Eficiencia Computacional: La aplicación del Teorema de Brent demuestra que es posible obtener alta precisión en el cálculo de estas constantes sin necesidad de procesar cantidades masivas de ceros (miles de millones), haciendo el problema computacionalmente más accesible.
Recursos para la Investigación: La tabla de coeficientes de alta precisión proporcionada sirve como un recurso de referencia valioso para futuras investigaciones en teoría analítica de números, permitiendo verificar conjeturas o probar algoritmos relacionados con la distribución de los ceros de Riemann.

En conclusión, el artículo no solo resuelve el problema de la definición general de los coeficientes $C_n$ , sino que también proporciona herramientas prácticas para su cálculo eficiente y preciso, avanzando en la comprensión de las propiedades analíticas de las funciones relacionadas con los ceros de Riemann.