On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

1. O Problema

O artigo aborda a Função Zeta Secundária, definida como uma série de Dirichlet generalizada sobre as partes imaginárias ($\gamma_n$) dos zeros não triviais da Função Zeta de Riemann, assumindo a Hipótese de Riemann (RH). A função é definida como:
$$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$$
Esta função converge absolutamente para $\Re(s) > 1$ e pode ser estendida analiticamente para o plano complexo, apresentando um polo duplo em $s=1$ e polos simples nos inteiros negativos ímpares.

O problema central investigado é a determinação precisa dos coeficientes ($C_n$) da parte regular da expansão em série de Laurent de $Z(s)$ em torno do polo duplo em $s=1$. A expansão é dada por:
$$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!}(s-1)^n$$
Embora a estrutura da expansão fosse conhecida (derivada por Ivić), não existia uma fórmula limite geral e direta para calcular os coeficientes $C_n$ para $n \geq 0$ de forma análoga às constantes de Stieltjes para a função Zeta de Riemann.

2. Metodologia

O autor emprega uma abordagem analítica combinada com verificação numérica de alta precisão:

• Derivação Analítica:

  • O autor revisa a função de contagem de zeros $N(T)$ e sua decomposição em um termo dominante $L(T)$ (fórmula de Riemann-von Mangoldt) e um termo de erro $Q(T) = S(T) + f(T)$.
  • Utiliza integração por partes e identidades integrais para relacionar somas parciais sobre os zeros ($\sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma}$) com a função $Q(T)$.
  • Demonstra que a diferença entre a soma parcial e uma função assintótica $A(T)$ converge para uma constante relacionada a $C_n$.
  • Conecta essa constante à expansão de Laurent através da continuação analítica da integral de Stieltjes, derivando uma fórmula limite explícita.

• Aplicação do Teorema de Brent (BPT):

  • Para melhorar a taxa de convergência numérica, o autor aplica o Teorema de Brent (BPT), que fornece limites de erro mais rigorosos para somas sobre zeros não triviais.
  • Isso permite corrigir o termo de erro $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T})$ para uma ordem superior $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T^2})$, adicionando um termo corretivo específico baseado na diferença entre $N(T)$ e $L(T)$.

• Verificação Numérica:

  • Utiliza um banco de dados de 2 milhões de zeros não triviais.
  • Compara os resultados obtidos pela nova fórmula limite com valores de referência de alta precisão (50 dígitos) calculados anteriormente pelo autor utilizando o algoritmo de Arias De Reyna (ADR).

3. Contribuições Principais

1. Nova Fórmula Limite para $C_n$ (Teorema 1):
   O artigo estabelece uma fórmula geral para os coeficientes da expansão de Laurent para qualquer $n \geq 0$:
   $$C_n = \lim_{T \to \infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma < T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$$
   Esta fórmula é estruturalmente semelhante à fórmula das constantes de Stieltjes para a função Zeta de Riemann.

2. Melhoria de Convergência via Teorema de Brent (Teorema 2):
   O autor deriva uma versão aprimorada da fórmula que inclui um termo corretivo baseado no Teorema de Brent. Isso reduz drasticamente o erro de truncamento, permitindo calcular os coeficientes com alta precisão usando um número muito menor de zeros do que seria necessário com a fórmula original.

3. Tabela de Referência de Alta Precisão:
   O artigo fornece uma tabela com os coeficientes $C_n$ para $0 \leq n \leq 50$, calculados com 50 dígitos de precisão, servindo como um recurso de referência para futuras pesquisas em teoria analítica dos números.

4. Resultados

Os resultados numéricos confirmam a validade das fórmulas derivadas:

• Caso $n=0$ (Constante Hassani):

  • Cálculo direto com $2 \times 10^6$ zeros: Precisão de 5 casas decimais.
  • Cálculo com correção BPT: Precisão de 12 casas decimais (com erro estimado $< 4.56 \times 10^{-12}$).
  • Valor obtido: $C_0 \approx 0.25163675131253386814...$

• Caso $n=1$:

  • Cálculo com correção BPT: Precisão de 10 casas decimais (erro $< 5.9 \times 10^{-11}$).
  • Valor obtido: $C_1 \approx -0.13004448590966041896...$

• Caso $n=2$:

  • Cálculo com correção BPT: Precisão de 10 casas decimais (erro $< 7.6 \times 10^{-10}$).
  • Valor obtido: $C_2 \approx 0.08242149122637581623...$

Os resultados demonstram que a aplicação do termo corretivo de Brent melhora a convergência em uma ordem de magnitude de $1/T$, tornando o cálculo de coeficientes de ordem superior viável e preciso.

5. Significância

Este trabalho é significativo por várias razões:

• Generalização Teórica: Estabelece uma conexão clara e uma fórmula unificada para os coeficientes da expansão da Função Zeta Secundária, preenchendo uma lacuna na literatura que anteriormente tratava apenas casos específicos ($n=0$).
• Eficiência Computacional: A aplicação do Teorema de Brent para reduzir o erro de truncamento é crucial para a computação de alta precisão de constantes relacionadas aos zeros da função Zeta, permitindo obter mais dígitos corretos sem a necessidade de processar trilhões de zeros.
• Recursos para Pesquisa: A tabela de coeficientes fornecida serve como um "ground truth" para validar futuros algoritmos de computação de zeros da função Zeta e para testar conjecturas sobre a distribuição estatística desses zeros.
• Conexão com Constantes de Stieltjes: Ao mostrar a similaridade estrutural entre $C_n$ e as constantes de Stieltjes, o artigo reforça a profundidade das conexões entre a distribuição dos zeros de Riemann e a análise complexa clássica.