On the series expansion of the secondary zeta function about $s=1$ and its coefficients

Probleemstelling

Het artikel richt zich op de secundaire zeta-functie, gedefinieerd als een veralgemeende zeta-reeks over de imaginaire delen van de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zeta-functie. Onder de aanname van de Riemann-hypothese (RH) worden deze nulpunten genoteerd als $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma_n$, waarbij $\gamma_n > 0$. De functie wordt gedefinieerd als:
$$Z(s) = \sum_{\gamma} \frac{1}{\gamma^s}$$
Deze reeks convergeert absoluut voor $\Re(s) > 1$. De functie kan analytisch worden voortgezet naar het complexe vlak met uitzondering van een dubbele pool bij $s=1$ en enkelvoudige polen bij negatieve oneven gehele getallen.

De kern van het probleem ligt in het bepalen van de coëfficiënten $C_n$ van de Laurent-reeksontwikkeling rond de pool $s=1$:
$$Z(s) = \frac{1}{2\pi(s-1)^2} - \frac{\log(2\pi)}{2\pi(s-1)} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{C_n}{n!}(s-1)^n$$
Hoewel de hoofdtermen bekend waren (afgeleid door Ivić), ontbrak er een expliciete, convergente formule voor de reguliere coëfficiënten $C_n$ die direct gekoppeld kon worden aan de sommatie over de nulpunten $\gamma$. Bestaande methoden vereisten complexe algoritmen of benaderingen.

Methodologie

De auteur hanteert een analytische benadering die voortbouwt op eerdere werken van Brent, Hassani en Arias De Reyna. De methode omvat de volgende stappen:

1. Analyse van de telling van nulpunten: Er wordt gebruikgemaakt van de Riemann-von Mangoldt-asymptotische formule voor de telling van nulpunten $N(T)$, opgesplitst in een dominante term $L(T)$ en een lagere-orde term $Q(T)$ (waarbij $Q(T) = S(T) + f(T)$).
2. Afleiding via partiële integratie: De auteur past een aangepaste versie van de afleiding van Brent toe. Door de som $\sum_{\gamma<T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma}$ te herschrijven als een Stieltjes-integraal en deze te splitsen in een integraal over $L(t)$ en $Q(t)$, wordt een exacte relatie gevonden tussen de som en de coëfficiënten.
3. Ontwikkeling van een limietformule: Door de integraal over $Q(t)$ te analyseren en deze te koppelen aan de Laurent-reeks van $Z(s)$, wordt een nieuwe limietformule voor $C_n$ afgeleid.
4. Verbetering van de convergentie (BPT): Om de numerieke nauwkeurigheid te vergroten, wordt het Brent (BPT) Theorem toegepast. Dit theorema biedt een scherpere foutenbegrenzing voor sommen over niet-triviale nulpunten, waardoor de convergentiesnelheid van de berekening aanzienlijk wordt verbeterd.
5. Numerieke verificatie: De afgeleide formules worden numeriek getest met behulp van een database van 2 miljoen niet-triviale nulpunten. De resultaten worden vergeleken met eerder berekende waarden (tot 50 decimalen) die zijn verkregen via het Arias De Reyna (ADR) algoritme.

Belangrijkste Bijdragen

• Nieuwe Formule voor Coëfficiënten (Stelling 1):
  De auteur leidt een nieuwe, expliciete limietformule af voor de coëfficiënten $C_n$ ($n \geq 0$):
  $$C_n = \lim_{T\to\infty} (-1)^n \left( \sum_{\gamma<T} \frac{\log^n(\gamma)}{\gamma} - \frac{1}{2\pi(n+1)(n+2)} \log^{n+1}(T) \log\left( \frac{T^{n+1}}{(2\pi)^{n+2}} \right) \right)$$
  Deze formule is analoog aan de Stieltjes-constanten voor de Riemann-zeta-functie en koppelt de coëfficiënten direct aan de sommatie over de nulpunten.

• Verbeterde Convergentie (Stelling 2):
  Door de BPT-methode toe te passen, wordt een correctieterm toegevoegd aan de formule. Dit verlaagt de foutterm van $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T})$ naar $O(\frac{\log^{n+1}(T)}{T^2})$. Dit betekent dat voor een gegeven $T$ de nauwkeurigheid drastisch toeneemt zonder dat er een exponentieel grotere database van nulpunten nodig is.

• Numerieke Validatie:
  De paper levert een referentietabel met coëfficiënten $C_n$ voor $0 \leq n \leq 50$ (tot 50 decimalen nauwkeurig). De auteur verifieert de nieuwe formules voor $n=0, 1, 2$ en toont aan dat de directe berekening zonder correctieterm redelijke nauwkeurigheid biedt (3-5 decimalen), maar dat de toepassing van de BPT-correctie de nauwkeurigheid naar 10-12 decimalen tilt.

Resultaten

• Berekening van $C_0$: De constante $C_0$ werd berekend tot 111 decimalen in eerdere werken, maar de nieuwe formule bevestigt de waarde $C_0 \approx 0.2516367513...$.
• Verbetering van nauwkeurigheid:
  • Zonder BPT-correctie: Berekening met 2 miljoen nulpunten leverde $C_0$ nauwkeurig tot 5 decimalen.
  • Met BPT-correctie: Dezelfde dataset leverde $C_0$ nauwkeurig tot 12 decimalen.
  • Voor $C_1$ en $C_2$ werd een overeenkomst van 10 decimalen bereikt na toepassing van de correctieterm.
• Referentietabel: Een uitgebreide tabel met waarden voor $C_n$ tot $n=50$ wordt gepresenteerd, inclusief waarden voor hoge $n$ die zeer groot worden (bijv. $C_{50} \approx -8.95 \times 10^{46}$).

Significantie

Dit artikel is significant voor de getaltheorie en de analyse van de Riemann-zeta-functie om de volgende redenen:

1. Theoretische Koppeling: Het sluit een theoretische lacune door een directe link te leggen tussen de Laurent-coëfficiënten van de secundaire zeta-functie en de sommatie over de imaginaire delen van de nulpunten, vergelijkbaar met de bekende Stieltjes-constanten.
2. Efficiëntie: De toepassing van de BPT-correctieterm maakt het mogelijk om deze coëfficiënten met hoge precisie te berekenen met een veel kleinere dataset dan voorheen nodig was. Dit verlaagt de rekentijd en de vereiste opslagcapaciteit aanzienlijk.
3. Referentiewaarden: Het biedt een betrouwbare set van coëfficiënten $C_n$ voor toekomstig onderzoek, wat essentieel is voor het testen van hypothesen over de verdeling van de nulpunten en de convergentie-eigenschappen van gerelateerde zeta-functies.
4. Validatie van Algoritmen: De resultaten bevestigen de nauwkeurigheid van eerdere berekeningen (zoals die van Arias De Reyna) en bieden een alternatieve, directere methode voor hun verificatie.

Kortom, Kawalec biedt een krachtig analytisch en numeriek kader om de complexe structuur van de secundaire zeta-functie rond $s=1$ beter te begrijpen en te berekenen.