On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Technische Zusammenfassung: Über das Argument der Lerch-Chowla-Selberg-Formel und CM-Werte von $\eta(\tau)$

Problemstellung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der expliziten Auswertung der Dedekindschen Eta-Funktion $\eta(\tau)$ an Komplexen Multiplikationspunkten (CM-Punkten). Während die klassische Lerch-Chowla-Selberg-Formel eine explizite Ausdrückung für das Produkt der Moduli $|\eta(\tau)|$ über einer Menge von CM-Punkten eines gegebenen Diskriminanten $D$ liefert, bestimmt sie nicht das Argument (die Phase) der einzelnen Werte oder das Produkt der Werte selbst ohne Betragsstriche. Der Autor strebt eine vollständig explizite Formel für das Produkt $\eta(\tau)^4$ (normalisiert durch den Chowla-Selberg-Gamma-Quotienten) ohne Betragsstriche an, wodurch das Argument dieser Werte isoliert wird. Des Weiteren untersucht die Arbeit die algebraische Natur der einzelnen CM-Werte von $\eta(\tau)$ und formuliert präzise Vermutungen bezüglich ihrer Minimalpolynome und Grade.

Methodik
Der Ansatz kombiniert die Theorie der Modulformen, die Arithmetik binärer quadratischer Formen und explizite Berechnung.

1. Modulvarianz und Repräsentanten: Der Autor definiert ein Produkt $P(D)$ über eine Standardmenge von Repräsentanten $F(D)$ der Klassengruppe der Diskriminante $D$. Da der Term $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ $SL_2(\mathbb{Z})$-invariant ist, ist der Modulus von $P(D)$ über die Chowla-Selberg-Formel bekannt. Die Herausforderung liegt im nicht-invarianten Term $\eta(\tau)^4$.
2. Randanalyse: Der Beweis des Hauptsatzes beruht auf der Analyse der Randfälle der Fundamentaldomain, in denen das Argument von $\eta(\tau)$ nicht trivial ist. Speziell untersucht der Autor quadratische Formen $(a, b, c)$, bei denen $a=c$ oder $a=b$ gilt. Durch Nutzung der Transformations-Eigenschaften von $\eta(\tau)$ (speziell $\eta(-1/\tau)$ und $\eta(\tau+1)$) setzt der Autor die Argumente dieser Randformen mit spezifischen Einheitswurzeln und algebraischen Faktoren unter Einbeziehung von $\sqrt{D}$ in Beziehung.
3. Arithmetische Bedingungen: Die Arbeit etabliert präzise arithmetische Bedingungen für die Teiler von $|D|$ (bezeichnet als die Menge $U(D)$), die bestimmen, welche Randfälle zum Argument beitragen. Dies beinhaltet eine detaillierte Analyse der 2-adischen Valuation von $D$ sowie Kongruenzbedingungen modulo 16 und 32.
4. Algebraische Erkennung: Um einzelne Werte zu untersuchen, definiert der Autor eine algebraische Zahl $\alpha(\tau)$, so dass $\eta(\tau)^4$ proportional zu $\alpha(\tau)$ mal der Chowla-Selberg-Konstante ist. Mittels hochpräziser numerischer Berechnung und Algorithmen zur algebraischen Erkennung (speziell algdep in Pari/GP) berechnet der Autor $\alpha(\tau)$ für ein breites Spektrum an Diskriminanten, um Muster in ihren Minimalpolynomen und Graden zu identifizieren.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse

1. Explizite Formel für das Argument (Theorem 2.1):
   Die Arbeit leitet eine geschlossene Formel für das Produkt $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$ her. Das Ergebnis wird gegeben als:
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   wobei $U^+(D)$ und $U^-(D)$ spezifische Teilmengen der Teiler von $|D|$ sind, die durch die Kongruenzklasse von $D$ modulo 16 oder 32 bestimmt werden.

   • Korollar 2.2 liefert vereinfachte Ergebnisse für spezifische Fälle: falls $D \equiv 0 \pmod 8$, dann $P(D) = 1$; falls $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) oder $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), dann $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algebraizität einzelner Werte (Theorem 3.2):
   Die Arbeit beweist, dass für jeden CM-Punkt $\tau$ die Größe $\eta(\tau)^4$ gleich einer algebraischen Zahl $\alpha(\tau)$ multipliziert mit der bekannten Chowla-Selberg-Konstante und geometrischen Faktoren ist. Folglich ist das Verhältnis $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ eine algebraische Zahl. Dies wird auf allgemeine Modulformen $f$ mit algebraischen Fourier-Koeffizienten ausgeweitet (Proposition 3.3).

3. Vermutungen über Minimalpolynome (Konjektur 4.1):
   Basierend auf umfangreichen numerischen Daten schlägt der Autor vier Vermutungen bezüglich der algebraischen Zahl $\alpha(\tau)$ (und einer normalisierten Version $\beta(\tau)$) vor:

   • Integrität: $a \cdot \alpha(\tau)$ und $a/\alpha(\tau)$ sind algebraische Ganze.
   • Norm: Die Norm von $\alpha(\tau)$ ist $\pm 1$ (wahrscheinlich immer 1).
   • Polynomstruktur: Das Minimalpolynom von $a \cdot \beta(\tau)$ hat die spezifische Form $B(x^{jm})$, wobei der Grad von der Klassenzahl $h(D)$ und der 2-adischen Valuation von $h(D)$ abhängt.
   • Definitionskörper: $\alpha(\tau)^{\text{lcm}(6, h(D))}$ gehört zum Ringklassenfeld der quadratischen Ordnung der Diskriminante $D$.

4. Empirische Daten:
   Die Arbeit enthält eine große Tabelle (die Diskriminanten von $-3$ bis $-180$ umfasst), welche die Grade von $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ und deren Potenzen auflistet. Die Daten stützen die Vermutung, dass der Grad dieser algebraischen Zahlen etwa proportional zu $h(D)^2$ wächst, was im Gegensatz zum linearen Wachstum der Grade für Modulfunktionen wie $j(\tau)$ steht.

Bedeutung und Ansprüche
Der Autor behauptet, die primäre Bedeutung dieser Arbeit liege in der Bereitstellung einer „vollständig expliziten“ Formel für das Argument der Lerch-Chowla-Selberg-Produktes, wodurch die Mehrdeutigkeit der Betragsstriche aufgehoben wird. Dies ermöglicht die präzise Bestimmung der Phase von $\eta(\tau)$ an CM-Punkten.

Die Arbeit rahmt die Vermutungen bescheiden als aus einer „angemessenen Menge an Daten“ hervorgehend ein, statt als strenger Beweis, und merkt an, dass sie „vielleicht nicht schwierig zu beweisen sind unter Verwendung bekannter Ergebnisse der CM-Theorie“. Die Bedeutung der Vermutungen liegt in ihrer strukturellen Beschreibung der algebraischen Natur der $\eta(\tau)$-Werte, was auf eine tiefere Verbindung zwischen den Graden dieser Werte und dem Quadrat der Klassenzahl hindeutet, und bietet einen algorithmischen Pfad zur expliziten Berechnung dieser Werte. Die Arbeit dient als computationales und theoretisches Bindeglied zwischen der klassischen Chowla-Selberg-Formel und der expliziten Arithmetik einzelner Eta-Werte.