On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Resumo Técnico: Sobre o Argumento da Fórmula de Lerch, Chowla–Selberg e Valores de CM de $\eta(\tau)$

Enunciado do Problema
O artigo aborda a avaliação explícita da função eta de Dedekind $\eta(\tau)$ em pontos de Multiplicação Complexa (CM). Embora a clássica fórmula de Lerch–Chowla–Selberg forneça uma expressão explícita para o produto dos módulos $|\eta(\tau)|$ sobre um conjunto de pontos de CM de um determinado discriminante $D$, ela não determina o argumento (fase) dos valores individuais ou o produto dos valores em si sem os valores absolutos. O autor busca fornecer uma fórmula completamente explícita para o produto de $\eta(\tau)^4$ (normalizado pelo quociente gama de Chowla–Selberg) sem valores absolutos, isolando, assim, o argumento desses valores. Além disso, o artigo investiga a natureza algébrica dos valores individuais de CM de $\eta(\tau)$ e formula conjecturas precisas sobre seus polinômios mínimos e graus.

Metodologia
A abordagem combina a teoria de formas modulares, a aritmética de formas quadráticas binárias e computação explícita.

1. Invariância Modular e Representantes: O autor define um produto $P(D)$ sobre um conjunto padrão de representantes $F(D)$ do grupo de classes de discriminante $D$. Como o termo $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ é $SL_2(\mathbb{Z})$-invariante, o módulo de $P(D)$ é conhecido via a fórmula de Chowla–Selberg. O desafio reside no termo não invariante $\eta(\tau)^4$.
2. Análise de Fronteira: A prova do teorema principal baseia-se na análise dos casos de fronteira do domínio fundamental onde o argumento de $\eta(\tau)$ é não trivial. Especificamente, o autor examina formas quadráticas $(a, b, c)$ onde $a=c$ ou $a=b$. Ao utilizar as propriedades de transformação de $\eta(\tau)$ (especificamente $\eta(-1/\tau)$ e $\eta(\tau+1)$), o autor relaciona os argumentos dessas formas de fronteira a raízes da unidade específicas e fatores algébricos envolvendo $\sqrt{D}$.
3. Condições Aritméticas: O artigo estabelece condições aritméticas precisas sobre os divisores de $|D|$ (denotado como o conjunto $U(D)$) que determinam quais casos de fronteira contribuem para o argumento. Isso envolve uma análise detalhada da valoração 2-ádica de $D$ e condições de congruência módulo 16 e 32.
4. Reconhecimento Algébrico: Para estudar valores individuais, o autor define um número algébrico $\alpha(\tau)$ tal que $\eta(\tau)^4$ é proporcional a $\alpha(\tau)$ vezes a constante de Chowla–Selberg. Utilizando computação numérica de alta precisão e algoritmos de reconhecimento algébrico (especificamente algdep em Pari/GP), o autor computa $\alpha(\tau)$ para uma ampla gama de discriminantes para identificar padrões em seus polinômios mínimos e graus.

Contribuições Principais e Resultados

1. Fórmula Explícita para o Argumento (Teorema 2.1):
   O artigo deriva uma expressão de forma fechada para o produto $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$. O resultado é dado por:
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   onde $U^+(D)$ e $U^-(D)$ são subconjuntos específicos de divisores de $|D|$ determinados pela classe de congruência de $D$ módulo 16 ou 32.

• Corolário 2.2 fornece resultados simplificados para casos específicos: se $D \equiv 0 \pmod 8$, $P(D) = 1$; se $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) ou $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algebraicidade de Valores Individuais (Teorema 3.2):
   O artigo prova que, para qualquer ponto de CM $\tau$, a quantidade $\eta(\tau)^4$ é igual a um número algébrico $\alpha(\tau)$ multiplicado pela constante conhecida de Chowla–Selberg e fatores geométicos. Consequentemente, a razão $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ é um número algébrico. Isso é estendido para formas modulares gerais $f$ com coeficientes de Fourier algébricos (Proposição 3.3).

3. Conjecturas sobre Polinômios Mínimos (Conjectura 4.1):
   Baseando-se em extensos dados numéricos, o autor propõe quatro conjecturas relativas ao número algébrico $\alpha(\tau)$ (e uma versão normalizada $\beta(\tau)$):

• Integralidade: $a \cdot \alpha(\tau)$ e $a/\alpha(\tau)$ são inteiros algébricos.
• Norma: A norma de $\alpha(\tau)$ é $\pm 1$ (provavelmente sempre 1).
• Estrutura do Polinômio: O polinômio mínimo de $a \cdot \beta(\tau)$ tem uma forma específica $B(x^{jm})$, onde o grau depende do número de classe $h(D)$ e da valoração 2-ádica de $h(D)$.
• Campo de Definição: $\alpha(\tau)^{\text{mmc}(6, h(D))}$ pertence ao campo de classe de ordem quadrática de discriminante $D$.

4. Dados Empíricos:
   O artigo inclui uma grande tabela (abrangendo discriminantes de $-3$a$-180$) listando os graus de $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ e suas potências. Os dados apoiam a conjectura de que o grau desses números algébricos cresce aproximadamente proporcional ao quadrado de $h(D)$, contrastando com o crescimento linear de graus para funções modulares como $j(\tau)$.

Significância e Alegações
O autor afirma que a principal significância deste trabalho é o fornecimento de uma fórmula "completamente explícita" para o argumento do produto de Lerch–Chowla–Selberg, removendo a ambiguidade dos valores absolutos. Isso permite a determinação precisa da fase de $\eta(\tau)$ em pontos de CM.

O artigo apresenta modestamente as conjecturas como emergentes de uma "quantidade razoável de dados", em vez de uma prova rigorosa, observando que elas "talvez não sejam difíceis de provar usando resultados conhecidos sobre a teoria de CM". A significância das conjecturas reside em sua descrição estrutural da natureza algébrica dos valores de $\eta(\tau)$, sugerindo uma conexão mais profunda entre os graus desses valores e o quadrado do número de classe, e fornecendo um caminho algorítmico para computar expressões explícitas para esses valores. O trabalho serve como uma ponte computacional e teórica entre a clássica fórmula de Chowla–Selberg e a aritmética explícita de valores individuais de eta.