On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Sintesi Tecnica: Sull'Argomento della Formula di Lerch, Chowla–Selberg e i Valori CM di $\eta(\tau)$

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la valutazione esplicita della funzione eta di Dedekind $\eta(\tau)$ nei punti di Moltiplicazione Complessa (CM). Mentre la classica formula di Lerch–Chowla–Selberg fornisce un'espressione esplicita per il prodotto dei moduli $|\eta(\tau)|$ su un insieme di punti CM di un dato discriminante $D$, essa non determina l'argomento (fase) dei singoli valori o il prodotto dei valori stessi senza i valori assoluti. L'autore mira a fornire una formula completamente esplicita per il prodotto di $\eta(\tau)^4$ (normalizzato dal quoziente gamma di Chowla–Selberg) senza valori assoluti, isolando così l'argomento di questi valori. Inoltre, il saggio investiga la natura algebrica dei singoli valori CM di $\eta(\tau)$ e formula congetture precise riguardanti i loro polinomi minimi e i loro gradi.

Metodologia
L'approccio combina la teoria delle forme modulari, l'aritmetica delle forme quadratiche binarie e il calcolo esplicito.

1. Invarianza Modulare e Rappresentanti: L'autore definisce un prodotto $P(D)$ su un insieme standard di rappresentanti $F(D)$ del gruppo di classi del discriminante $D$. Poiché il termine $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ è $SL_2(\mathbb{Z})$-invariante, il modulo di $P(D)$ è noto tramite la formula di Chowla–Selberg. La sfida risiede nel termine non invariante $\eta(\tau)^4$.
2. Analisi del Confine: La dimostrazione del teorema principale si basa sull'analisi dei casi limite del dominio fondamentale dove l'argomento di $\eta(\tau)$ è non banale. Nello specifico, l'autore esamina le forme quadratiche $(a, b, c)$ dove $a=c$ o $a=b$. Utilizzando le proprietà di trasformazione di $\eta(\tau)$ (specificamente $\eta(-1/\tau)$ e $\eta(\tau+1)$), l'autore relaziona gli argomenti di queste forme di confine a specifiche radici dell'unità e fattori algebrici che coinvolgono $\sqrt{D}$.
3. Condizioni Aritmetiche: Il saggio stabilisce precise condizioni aritmetiche sui divisori di $|D|$ (indicato come l'insieme $U(D)$) che determinano quali casi di confine contribuiscono all'argomento. Ciò comporta un'analisi dettagliata della valutazione 2-adica di $D$ e di condizioni di congruenza modulo 16 e 32.
4. Riconoscimento Algebrico: Per studiare i singoli valori, l'autore definisce un numero algebrico $\alpha(\tau)$ tale che $\eta(\tau)^4$ sia proporzionale ad $\alpha(\tau)$ moltiplicato per la costante di Chowla–Selberg. Utilizzando il calcolo numerico ad alta precisione e algoritmi di riconoscimento algebrico (specificamente algdep in Pari/GP), l'autore calcola $\alpha(\tau)$ per un ampio intervallo di discriminanti per identificare schemi nei loro polinomi minimi e nei loro gradi.

Contributi Chiave e Risultati

1. Formula Esplicita per l'Argomento (Teorema 2.1):
   Il saggio deriva un'espressione in forma chiusa per il prodotto $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$. Il risultato è dato come:
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   dove $U^+(D)$ e $U^-(D)$ sono sottoinsiemi specifici di divisori di $|D|$ determinati dalla classe di congruenza di $D$ modulo 16 o 32.

   • Il Corollario 2.2 fornisce risultati semplificati per casi specifici: se $D \equiv 0 \pmod 8$, $P(D) = 1$; se $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) o $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algebricità dei Singoli Valori (Teorema 3.2):
   Il saggio dimostra che per ogni punto CM, la quantità $\eta(\tau)^4$ è uguale a un numero algebrico $\alpha(\tau)$ moltiplicato per la nota costante di Chowla–Selberg e fattori geometrici. Di conseguenza, il rapporto $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ è un numero algebrico. Ciò viene esteso a forme modulari generiche $f$ con coefficienti di Fourier algebrici (Proposizione 3.3).

3. Congetture sui Polinomi Minimi (Congettura 4.1):
   Sulla base di estesi dati numerici, l'autore propone quattro congetture riguardanti il numero algebrico $\alpha(\tau)$ (e una versione normalizzata $\beta(\tau)$):

   • Interezza: $a \cdot \alpha(\tau)$ e $a/\alpha(\tau)$ sono interi algebrici.
   • Norma: La norma di $\alpha(\tau)$ è $\pm 1$ (probabilmente sempre 1).
   • Struttura del Polinomio: Il polinomio minimo di $a \cdot \beta(\tau)$ ha una forma specifica $B(x^{jm})$, dove il grado dipende dal numero di classi $h(D)$ e dalla valutazione 2-adica di $h(D)$.
   • Campo di Definizione: $\alpha(\tau)^{\text{lcm}(6, h(D))}$ appartiene al campo di classi dell'ordine quadratico di discriminante $D$.

4. Dati Empirici:
   Il saggio include una grande tabella (che spazia dai discriminanti da $-3$a$-180$) elencando i gradi di $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ e delle loro potenze. I dati supportano la congettura che il grado di questi numeri algebrici cresca approssimativamente in proporzione a $h(D)^2$, contrastando con la crescita lineare dei gradi per funzioni modulari come $j(\tau)$.

Significato e Rivendicazioni
L'autore afferma che il significato primario di questo lavoro è la fornitura di una formula "completamente esplicita" per l'argomento del prodotto di Lerch–Chowla–Selberg, rimuovendo l'ambiguità dei valori assoluti. Ciò consente la determinazione precisa della fase di $\eta(\tau)$ nei punti CM.

Il saggio inquadra modestamente le congetture come emerse da "una ragionevole quantità di dati" piuttosto che da una dimostrazione rigorosa, notando che esse "forse non sono difficili da dimostrare usando i risultati noti sulla teoria CM". Il significato delle congetture risiede nella loro descrizione strutturale della natura algebrica dei valori di $\eta(\tau)$, suggerendo una connessione più profonda tra i gradi di questi valori e il quadrato del numero di classi, e fornendo una via algoritmica per calcolare espressioni esplicite di tali valori. Il lavoro funge da ponte computazionale e teorico tra la classica formula di Chowla–Selberg e l'aritmetica esplicita dei singoli valori eta.