On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

技术摘要：关于 Lerch、Chowla–Selberg 公式与 $\eta(\tau)$ 的 CM 值

问题陈述
本文探讨了在复乘（CM）点处对德德金德 $\eta$ 函数（Dedekind eta function）进行显式求值的问题。虽然经典的 Lerch–Chowla–Selberg 公式提供了给定判别式 $D$ 下一组 CM 点的模之积 $|\eta(\tau)|$ 的显式表达式，但它并未确定单个值的辐角（相位）或这些值的乘积本身（不带绝对值）。作者寻求提供一个完全显式的公式，用于计算 $\eta(\tau)^4$ 的乘积（通过 Chowla–Selberg $\Gamma$ 商进行归一化），且不带绝对值，从而隔离出这些值的辐角。此外，本文研究了单个 $\eta(\tau)$ 的 CM 值的代数性质，并就其极小多项式和次数提出了精确的猜想。

方法论
该方法结合了模形式理论、二元二次型的算术以及显式计算。

1. 模不变性与代表元： 作者定义了一个在判别式 $D$ 的类群标准代表元集合 $F(D)$ 上的乘积 $P(D)$。由于项 $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ 是 $SL_2(\mathbb{Z})$ 不变的，因此 $P(D)$ 的模可以通过 Chowla–Selberg 公式可知。挑战在于非不变项 $\eta(\tau)^4$。
2. 边界分析： 证明主定理的方法依赖于分析基本域的边界情况，在这些情况下 $\eta(\tau)$ 的辐角是非平凡的。具体而言，作者检查了满足 $a=c$ 或 $a=b$ 的二次型 $(a, b, c)$。通过利用 $\eta(\tau)$ 的变换性质（特别是 $\eta(-1/\tau)$ 和 $\eta(\tau+1)$），作者将这些边界形式的辐角与特定的单位根及涉及 $\sqrt{D}$ 的代数因子联系起来。
3. 算术条件： 本文确立了关于 $|D|$ 的约数（记为集合 $U(D)$）的精确算术条件，这些条件决定了哪些边界情况会对辐角产生贡献。这涉及对 $D$ 的 2-adic 估值以及模 16 和 32 同余条件的详细分析。
4. 代数识别： 为了研究单个值，作者定义了一个代数数 $\alpha(\tau)$，使得 $\eta(\tau)^4$ 与 $\alpha(\tau)$ 乘以 Chowla–Selberg 常数成比例。通过高精度数值计算和代数识别算法（特别是 Pari/GP 中的 algdep），作者计算了广泛判别式下的 $\alpha(\tau)$，以识别其极小多项式和次数的模式。

主要贡献与结果

1. 辐角的显式公式（定理 2.1）：
   本文推导出了乘积 $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$ 的闭合形式表达式。结果给出为：
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   其中 $U^+(D)$ 和 $U^-(D)$ 是由 $D$ 模 16 或 32 的同余类决定的 $|D|$ 的特定子集。

   • 推论 2.2 提供了特定情况下的简化结果：如果 $D \equiv 0 \pmod 8$，则 $P(D) = 1$；如果 $D = -p$（$p \equiv 3 \pmod 4$）或 $D = -4p$（$p \equiv 1 \pmod 4$），则 $P(D) = e^{-2i\pi/12}$。

2. 单个值的代数性（定理 3.2）：
   本文证明了对于任何 CM 点 $\tau$，量 $\eta(\tau)^4$ 等于一个代数数 $\alpha(\tau)$ 乘以已知的 Chowla–Selberg 常数和几何因子。因此，比值 $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ 是一个代数数。这一结论可推广到具有代数傅里叶系数的一般模形式 $f$（命题 3.3）。

3. 关于极小多项式的猜想（猜想 4.1）：
   基于大量的数值数据，作者提出了关于代数数 $\alpha(\tau)$（以及归一化版本 $\beta(\tau)$）的四个猜想：

   • 整性： $a \cdot \alpha(\tau)$ 和 $a/\alpha(\tau)$ 是代数整数。
   • 范数： $\alpha(\tau)$ 的范数为 $\pm 1$（可能始终为 1）。
   • 多项式结构： $a \cdot \beta(\tau)$ 的极小多项式具有特定的形式 $B(x^{jm})$，其次数取决于类数 $h(D)$ 和 $h(D)$ 的 2-adic 估值。
   • 定义域： $\alpha(\tau)^{\text{lcm}(6, h(D))}$ 属于判别式为 $D$ 的二次阶的环类域。

4. 经验数据：
   本文包含一个涵盖判别式从 $-3$到$-180$的大型表格，列出了$\alpha(\tau)$、$\beta(\tau)$及其幂次的次数。数据支持了这样一个猜想：这些代数数的次数大致与$h(D)^2$成正比，这与模函数$j(\tau)$ 的线性次数增长形成对比。

意义与声明
作者声称这项工作的首要意义在于提供了 Lerch–Chowla–Selberg 乘积辐角的“完全显式”公式，消除了绝对值的歧义。这使得精确确定 CM 点处 $\eta(\tau)$ 的相位成为可能。

本文谦逊地将猜想描述为源于“相当数量的数据”而非严格证明，并指出它们“使用已知结果或许并不难证明”。这些猜想的意义在于它们对 $\eta(\tau)$ 值的代数性质进行了结构化描述，表明这些值的次数与类数的平方之间存在更深层的联系，并提供了一条计算这些值显式表达式的算法路径。这项工作成为了经典 Chowla–Selberg 公式与单个 $\eta$ 值显式算术之间的计算与理论桥梁。