On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Résumé technique : Sur l'argument de la formule de Lerch, Chowla–Selberg et les valeurs CM de $\eta(\tau)$

Énoncé du problème
L'article traite de l'évaluation explicite de la fonction de Dedekind $\eta(\tau)$ aux points de multiplication complexe (CM). Alors que la formule classique de Lerch–Chowla–Selberg fournit une expression explicite pour le produit des modules $|\eta(\tau)|$ sur un ensemble de points CM d'un discriminant $D$ donné, elle ne détermine pas l'argument (la phase) des valeurs individuelles ou le produit des valeurs elles-mêmes sans les valeurs absolues. L'auteur cherche à fournir une formule complètement explicite pour le produit de $\eta(\tau)^4$ (normalisé par le quotient de gamma de Chowla–Selberg) sans valeurs absolues, isolant ainsi l'argument de ces valeurs. De plus, l'article étudie la nature algébrique des valeurs CM individuelles de $\eta(\tau)$ et formule des conjectures précises concernant leurs polynômes minimaux et leurs degrés.

Méthodologie
L'approche combine la théorie des formes modulaires, l'arithmétique des formes quadratiques binaires et le calcul explicite.

1. Invariance modulaire et représentants : L'auteur définit un produit $P(D)$ sur un ensemble standard de représentants $F(D)$ du groupe de classes de discriminant $D$. Puisque le terme $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ est $SL_2(\mathbb{Z})$-invariant, le module de $P(D)$ est connu via la formule de Chowla–Selberg. Le défi réside dans le terme non invariant $\eta(\tau)^4$.
2. Analyse des frontières : La preuve du théorème principal repose sur l'analyse des cas limites du domaine fondamental où l'argument de $\eta(\tau)$ est non trivial. Plus précisément, l'auteur examine les formes quadratiques $(a, b, c)$ où $a=c$ ou $a=b$. En utilisant les propriétés de transformation de $\eta(\tau)$ (spécifiquement $\eta(-1/\tau)$ et $\eta(\tau+1)$), l'auteur relie les arguments de ces formes limites à des racines de l'unité spécifiques et à des facteurs algébriques impliquant $\sqrt{D}$.
3. Conditions arithmétiques : L'article établit des conditions arithmétiques précises sur les diviseurs de $|D|$ (notés l'ensemble $U(D)$) qui déterminent quels cas limites contribuent à l'argument. Cela implique une analyse détaillée de la valuation 2-adique de $D$ et des conditions de congruence modulo 16 et 32.
4. Reconnaissance algébrique : Pour étudier les valeurs individuelles, l'auteur définit un nombre algébrique $\alpha(\tau)$ tel que $\eta(\tau)^4$ est proportionnel à $\alpha(\tau)$ multiplié par la constante de Chowla–Selberg. En utilisant le calcul numérique de haute précision et des algorithmes de reconnaissance algébrique (spécifiquement algdep dans Pari/GP), l'auteur calcule $\alpha(\tau)$ pour une large gamme de discriminants afin d'identifier des modèles dans leurs polynômes minimaux et leurs degrés.

Contributions clés et résultats

1. Formule explicite pour l'argument (Théorème 2.1) :
   L'article dérive une expression en forme fermée pour le produit $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$. Le résultat est donné par :
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   où $U^+(D)$ et $U^-(D)$ sont des sous-ensembles spécifiques de diviseurs de $|D|$ déterminés par la classe de congruence de $D$ modulo 16 ou 32.

   • Corollaire 2.2 fournit des résultats simplifiés pour des cas spécifiques : si $D \equiv 0 \pmod 8$, $P(D) = 1$ ; si $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) ou $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algébricité des valeurs individuelles (Théorème 3.2) :
   L'article prouve que pour tout point CM $\tau$, la quantité $\eta(\tau)^4$ est égale à un nombre algébrique $\alpha(\tau)$ multiplié par la constante connue de Chowla–Selberg et des facteurs géométriques. Par conséquent, le rapport $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ est un nombre algébrique. Ceci est étendu aux formes modulaires générales $f$ ayant des coefficients de Fourier algébriques (Proposition 3.3).

3. Conjectures sur les polynômes minimaux (Conjecture 4.1) :
   Sur la base de données numériques étendues, l'auteur propose quatre conjectures concernant le nombre algébrique $\alpha(\tau)$ (et une version normalisée $\beta(\tau)$) :

   • Intégrité : $a \cdot \alpha(\tau)$ et $a/\alpha(\tau)$ sont des entiers algébriques.
   • Norme : La norme de $\alpha(\tau)$ est $\pm 1$ (probablement toujours 1).
   • Structure polynomiale : Le polynôme minimal de $a \cdot \beta(\tau)$ a une forme spécifique $B(x^{jm})$, où le degré dépend du nombre de classes $h(D)$ et de la valuation 2-adique de $h(D)$.
   • Corps de définition : $\alpha(\tau)^{\text{ppcm}(6, h(D))}$ appartient au corps de classe de l'ordre quadratique de discriminant $D$.

4. Données empiriques :
   L'article inclut un large tableau (couvrant les discriminants de $-3$à$-180$) listant les degrés de $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ et de leurs puissances. Les données soutiennent la conjecture selon laquelle le degré de ces nombres algébriques croît approximativement proportionnellement à $h(D)^2$, contrastant avec la croissance linéaire des degrés pour les fonctions modulaires comme $j(\tau)$.

Signification et revendications
L'auteur affirme que la principale importance de ce travail est de fournir une formule « complètement explicite » pour l'argument du produit de Lerch–Chowla–Selberg, supprimant l'ambiguïté des valeurs absolues. Cela permet de déterminer précisément la phase de $\eta(\tau)$ aux points CM.

L'article présente modestement les conjectures comme émergeant d'une « quantité raisonnable de données » plutôt que d'une preuve rigoureuse, notant qu'elles ne sont « peut-être pas difficiles à prouver en utilisant les résultats connus sur la théorie CM ». La portée des conjectures réside dans leur description structurelle de la nature algébrique des valeurs de $\eta(\tau)$, suggérant un lien plus profond entre les degrés de ces valeurs et le carré du nombre de classes, et fournissant une voie algorithmique pour calculer des expressions explicites de ces valeurs. Le travail sert de pont computationnel et théorique entre la formule classique de Chowla–Selberg et l'arithmétique explicite des valeurs individuelles de l'eta.