On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Technische Samenvatting: Over het argument van de Lerch, Chowla–Selberg-formule en CM-waarden van $\eta(\tau)$

Probleemstelling
Het artikel behandelt de expliciete evaluatie van de Dedekind eta-functie $\eta(\tau)$ in CM-punten (Complex Multiplication). Terwijl de klassieke Lerch–Chowla–Selberg-formule een expliciete uitdrukking biedt voor het product van de moduli $|\eta(\tau)|$ over een verzameling CM-punten van een gegeven discriminant $D$, bepaalt deze niet het argument (de fase) van de individuele waarden of het product van de waarden zelf zonder absolute waarden. De auteur streeft ernaar een volledig expliciete formule te bieden voor het product van $\eta(\tau)^4$ (genormaliseerd door de Chowla–Selberg gamma-quotiënt) zonder absolute waarden, waardoor het argument van deze waarden wordt geïsoleerd. Verder onderzoekt het artikel de algebraïsche aard van de individuele CM-waarden van $\eta(\tau)$ en formuleert het precieze vermoedens over hun minimale polynomen en graden.

Methodologie
De benadering combineert de theorie van modulaire vormen, de rekenkunde van binaire kwadratische vormen en expliciete berekeningen.

1. Modulaire invariantie en representanten: De auteur definieert een product $P(D)$ over een standaardverzameling van representanten $F(D)$ van de klassengroep van discriminant $D$. Aangezien de term $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ $SL_2(\mathbb{Z})$-invariant is, is de modulus van $P(D)$ bekend via de Chowla–Selberg-formule. De uitdaging ligt in de niet-invariante term $\eta(\tau)^4$.
2. Randanalyse: Het bewijs van de hoofdstelling berust op het analyseren van de randgevallen van het fundamentele domein waar het argument van $\eta(\tau)$ niet triviaal is. Specifiek onderzoekt de auteur kwadratische vormen $(a, b, c)$ waarbij $a=c$ of $a=b$. Door gebruik te maken van de transformatie-eigenschappen van $\eta(\tau)$ (specifiek $\eta(-1/\tau)$ en $\eta(\tau+1)$), relateert de auteur de argumenten van deze randgevallen aan specifieke eenheden en algebraïsche factoren die $\sqrt{D}$ bevatten.
3. Algebraïsche condities: Het artikel stelt precieze algebraïsche condities vast op de delers van $|D|$ (de verzameling $U(D)$) die bepalen welke randgevallen bijdragen aan het argument. Dit omvat een gedetailleerde analyse van de 2-adische valentie van $D$ en congruentievoorwaarden modulo 16 en 32.
4. Algebraïsche herkenning: Om individuele waarden te bestuderen, definieert de auteur een algebraïsch getal $\alpha(\tau)$ zodanig dat $\eta(\tau)^4$ proportioneel is aan $\alpha(\tau)$ vermenigvuldigd met de Chowla–Selberg-constante. Met behulp van numerieke berekeningen met hoge precisie en algoritmen voor algebraïsche herkenning (specifiek algdep in Pari/GP), berekent de auteur $\alpha(\tau)$ voor een breed scala aan discriminanten om patronen in hun minimale polynomen en graden te identificeren.

Belangrijkste bijdragen en resultaten

1. Expliciete formule voor het argument (Stelling 2.1):
   Het artikel leidt een gesloten uitdrukking af voor het product $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$. Het resultaat wordt gegeven als:
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   waarbij $U^+(D)$ en $U^-(D)$ specifieke deelverzamelingen zijn van de delers van $|D|$, bepaald door de congruentieklasse van $D$ modulo 16 of 32.

   • Corollary 2.2 biedt vereenvoudigde resultaten voor specifieke gevallen: als $D \equiv 0 \pmod 8$, dan is $P(D) = 1$; als $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) of $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), dan is $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algebraïciteit van individuele waarden (Stelling 3.2):
   Het artikel bewijst dat voor elk CM-punt de hoeveelheid $\eta(\tau)^4$ gelijk is aan een algebraïsch getal $\alpha(\tau)$ vermenigvuldigd met de bekende Chowla–Selberg-constante en geometrische factoren. Bijgevolg is de ratio $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ een algebraïsch getal. Dit wordt uitgebreid naar algemene modulaire vormen $f$ met algebraïsche Fourier-coëfficiënten (Propositie 3.3).

3. Vermoedens over minimale polynomen (Vermoeden 4.1):
   Op basis van uitgebreide numerieke gegevens stelt de auteur vier vermoedens voor met betrekking tot het algebraïsche getal $\alpha(\tau)$ (en een genormaliseerde versie $\beta(\tau)$):

   • Gehele eigenschappen: $a \cdot \alpha(\tau)$ en $a/\alpha(\tau)$ zijn algebraïsche gehele getallen.
   • Norm: De norm van $\alpha(\tau)$ is $\pm 1$ (waarschijnlijk altijd 1).
   • Polynoomstructuur: De minimale polynoom van $a \cdot \beta(\tau)$ heeft een specifieke vorm $B(x^{jm})$, waarbij de graad afhangt van de klassengroep-valentie $h(D)$ en de 2-adische valentie van $h(D)$.
   • Veld van definitie: $\alpha(\tau)^{\text{lcm}(6, h(D))}$ behoort tot het ringklasseveld van de kwadratische orde van discriminant $D$.

4. Empirische gegevens:
   Het artikel bevat een grote tabel (lopend van discriminanten $-3$ tot $-180$) die de graden van $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ en hun machten weergeeft. De gegevens ondersteunen het vermoeden dat de graad van deze algebraïsche getallen ruwweg evenredig groeit met $h(D)^2$, wat contrasteert met de lineaire groei van de graden voor modulaire functies zoals $j(\tau)$.

Betekenis en claims
De auteur stelt dat de primaire betekenis van dit werk het leveren van een "volledig expliciete" formule voor het argument van de Lerch–Chowla–Selberg-product is, waardoor de ambiguïteit van absolute waarden wordt weggenomen. Dit maakt de precieze bepaling van de fase van $\eta(\tau)$ in CM-punten mogelijk.

Het artikel kadert de vermoedens bescheiden als voortkomend uit "een redelijke hoeveelheid data" in plaats van een strikt bewijs, en merkt op dat ze "wellicht niet moeilijk te bewijzen zijn met bekende resultaten over CM-theorie". De betekenis van de vermoedens ligt in hun structurele beschrijving van de algebraïsche aard van de $\eta(\tau)$-waarden, wat suggereert dat er een diepere verbinding bestaat tussen de graden van deze waarden en het kwadraat van de klassengroep, en een algoritmisch pad biedt om expliciete uitdrukkingen voor deze waarden te berekenen. Het werk dient als een computationele en theoretische brug tussen de klassieke Chowla–Selberg-formule en de expliciete rekenkunde van individuele eta-waarden.