On the Argument of the Lerch, Chowla--Selberg Formula and CM Values of $\eta(\tau)$

Resumen Técnico: Sobre el argumento de la fórmula de Lerch, Chowla–Selberg y los valores CM de $\eta(\tau)$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la evaluación explícita de la función eta de Dedekind $\eta(\tau)$ en puntos de Multiplicación Compleja (CM). Si bien la clásica fórmula de Lerch–Chowla–Selberg proporciona una expresión explícita para el producto de los módulos $|\eta(\tau)|$ sobre un conjunto de puntos CM de un determinado discriminante $D$, esta no determina el argumento (fase) de los valores individuales o el producto de los valores mismos sin los valores absolutos. El autor busca proporcionar una fórmula completamente explícita para el producto de $\eta(\tau)^4$ (normalizado por el cociente gamma de Chowla–Selberg) sin valores absolutos, aislando así el argumento de estos valores. Además, el artículo investiga la naturaleza algebraica de los valores CM individuales de $\eta(\tau)$ y formula conjeturas precisas sobre sus polinomios mínimos y grados.

Metodología
El enfoque combina la teoría de las formas modulares, la aritmética de las formas cuadráticas binarias y la computación explícita.

1. Invarianza Modular y Representantes: El autor define un producto $P(D)$ sobre un conjunto estándar de representantes $F(D)$ del grupo de clases de discriminante $D$. Dado que el término $\Im(\tau)|\eta(\tau)|^4$ es $SL_2(\mathbb{Z})$-invariante, el módulo de $P(D)$ es conocido mediante la fórmula de Chowla–Selberg. El desafío reside en el término no invariante $\eta(\tau)^4$.
2. Análisis de Frontera: La demostración del teorema principal se basa en el análisis de los casos de frontera del dominio fundamental donde el argumento de $\eta(\tau)$ es no trivial. Específicamente, el autor examina formas cuadráticas $(a, b, c)$ donde $a=c$ o $a=b$. Al utilizar las propiedades de transformación de $\eta(\tau)$ (específicamente $\eta(-1/\tau)$ y $\eta(\tau+1)$), el autor relaciona los argumentos de estas formas de frontera con raíces de la unidad específicas y factores algebraicos que involucran $\sqrt{D}$.
3. Condiciones Aritméticas: El artículo establece condiciones aritméticas precisas sobre los divisores de $|D|$ (denotado como el conjunto $U(D)$) que determinan qué casos de frontera contribuyen al argumento. Esto implica un análisis detallado de la valoración 2-ádica de $D$ y condiciones de congruencia módulo 16 y 32.
4. Reconocimiento Algebraico: Para estudiar los valores individuales, el autor define un número algebraico $\alpha(\tau)$ tal que $\eta(\tau)^4$ es proporcional a $\alpha(\tau)$ multiplicado por la constante de Chowla–Selberg. Utilizando computación numérica de alta precisión y algoritmos de reconocimiento algebraico (específicamente algdep en Pari/GP), el autor computa $\alpha(\tau)$ para un amplio rango de discriminantes para identificar patrones en sus polinomios mínimos y grados.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Fórmula Explícita para el Argumento (Teorema 2.1):
   El artículo deriva una expresión de forma cerrada para el producto $P(D) = \prod_{\tau \in F(D)} \eta(\tau)^4 / |\eta(\tau)|^4$. El resultado se da como:
   $$P(D) = e^{-(i\pi/6)(|U^-(D)| - 3|U^+(D)|)} \prod_{d \in U^+(D)} \frac{d - \sqrt{D}}{d + \sqrt{D}}$$
   donde $U^+(D)$ y $U^-(D)$ son subconjuntos específicos de divisores de $|D|$ determinados por la clase de congruencia de $D$ módulo 16 o 32.

   • Corolario 2.2 proporciona resultados simplificados para casos específicos: si $D \equiv 0 \pmod 8$, $P(D) = 1$; si $D = -p$ ($p \equiv 3 \pmod 4$) o $D = -4p$ ($p \equiv 1 \pmod 4$), $P(D) = e^{-2i\pi/12}$.

2. Algebraicidad de los Valores Individuales (Teorema 3.2):
   El artículo demuestra que para cualquier punto CM, la cantidad $\eta(\tau)^4$ es igual a un número algebraico $\alpha(\tau)$ multiplicado por la conocida constante de Chowla–Selberg y factores geométricos. Consecuentemente, la razón $\eta(\tau)/|\eta(\tau)|$ es un número algebraico. Esto se extiende a formas modulares generales $f$ con coeficientes de Fourier algebraicos (Proposición 3.3).

3. Conjeturas sobre Polinomios Mínimos (Conjetura 4.1):
   Basándose en extensos datos numéricos, el autor propone cuatro conjeturas respecto al número algebraico $\alpha(\tau)$ (y una versión normalizada $\beta(\tau)$):

   • Integralidad: $a \cdot \alpha(\tau)$ y $a/\alpha(\tau)$ son enteros algebraicos.
   • Norma: La norma de $\alpha(\tau)$ es $\pm 1$ (probablemente siempre 1).
   • Estructura del Polinomio: El polinomio mínimo de $a \cdot \beta(\tau)$ tiene una forma específica $B(x^{jm})$, donde el grado depende de la clase de número $h(D)$ y la valoración 2-ádica de $h(D)$.
   • Campo de Definición: $\alpha(\tau)^{\text{mcm}(6, h(D))}$ pertenece al campo de clase de la orden cuadrática de discriminante $D$.

4. Datos Empíricos:
   El artículo incluye una gran tabla (que abarca discriminantes desde $-3$ hasta $-180$) que enumera los grados de $\alpha(\tau)$, $\beta(\tau)$ y sus potencias. Los datos apoyan la conjetura de que el grado de estos números algebraicos crece aproximadamente proporcional al cuadrado del número de clase $h(D)^2$, contrastando con el crecimiento lineal de los grados para funciones modulares como $j(\tau)$.

Significancia y Reivindicaciones
El autor afirma que la significancia principal de este trabajo es la provisión de una fórmula "completamente explícita" para el argumento del producto de Lerch–Chowla–Selberg, eliminando la ambigüedad de los valores absolutos. Esto permite la determinación precisa de la fase de $\eta(\tau)$ en puntos CM.

El artículo presenta modestamente las conjeturas como emergentes de "una cantidad razonable de datos" en lugar de una prueba rigurosa, señalando que "quizás no sean difíciles de probar utilizando resultados conocidos sobre la teoría CM". La importancia de las conjeturas radica en su descripción estructural de la naturaleza algebraica de los valores de $\eta(\tau)$, sugiriendo una conexión más profunda entre los grados de estos valores y el cuadrado del número de clase, y proporcionando una vía algorítmica para computar expresiones explícitas de estos valores. El trabajo sirve como un puente computacional y teórico entre la fórmula clásica de Chowla–Selberg y la aritmética explícita de los valores individuales de eta.