The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

Technische Zusammenfassung: Das isokritische Regime für den gemischten lokalen-nichtlokalen $(p, q)$-Laplace-Operator

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht die Existenz und die qualitativen Eigenschaften von Lösungen der kritischen Gleichung, die durch den gemischten lokalen-nichtlokalen Operator $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ im gesamten Raum $\mathbb{R}^N$ getrieben wird:
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N,$$
wobei $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$ und $1 < sq < N$. Der zentrale Fokus liegt auf dem isokritischen Regime, definiert durch die Bedingung $p^* = q^*_s$, wobei $p^* = \frac{pN}{N-p}$ der kritische Sobolev-Exponent für den $p$-Laplace-Operator und $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ der fraktionale kritische Exponent für den $q$-Laplace-Operator ist. Diese Bedingung ist äquivalent zu $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$.

In nicht-isokritischen Regimen (wo $p^* \neq q^*_s$) dominiert typischerweise ein Operator die kritische Skalierung, wodurch der andere zu einem niederwertigen Störterm wird. Die Autoren merken an, dass in vorangegangenen Arbeiten zum linearen Fall ($p=q=2$) der nichtlokale Term unter kritischer Reskalierung als subkritisch gegenüber dem lokalen Term nachgewiesen wurde, was zu einem Verlust der Kompaktheit führte, bei dem der fraktionale Beitrag verschwindet. Diese Arbeit adressiert den delikaten Fall, in dem beide Operatoren gleichzeitig kritisch für dieselbe Nichtlinearität sind, wodurch der nichtlokale Term zu einem „echten Co-Protagonisten“ statt zu einem bloßen Störterm wird.

Methodik und Rahmenwerk
Die Analyse stützt sich auf einen variationstheoretischen Ansatz innerhalb des Energieraums $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$. Unter der isokritischen Bedingung gilt die Einbettung $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$, wodurch sich der natürliche Energieraum auf $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ reduziert. Diese Einbettung ist jedoch nicht kompakt, was eine verfeinerte Konzentrations-Kompaktheits-Analyse (Concentration-Compactness) erforderlich macht.

1. Variationsstruktur: Die Autoren nutzen die Methode der Nehari-Mannigfaltigkeit, um Grundzustände zu finden. Sie definieren das Energiefunktional $J$ und die zugehörige Nehari-Mannigfaltigkeit $\mathcal{N}$. Der Existenzbeweis beruht auf einer doppelten Schwellenwert-Konzentrations-Kompaktheits-Analyse. Im Gegensatz zu Standardproblemen kritischer Wachstums, die eine einzige Sobolev-Konstante involvieren, wird der Verlust der Kompaktheits hier durch sowohl die lokale beste Sobolev-Konstante $S$ als auch die fraktionale beste Sobolev-Konstante $S_f$ bestimmt.
2. Lokalisierung der Kompaktheit: Ein entscheidender technischer Schritt ist die Lokalisierung des Verlusts der Kompaktheit auf Annuli. Die Autoren beweisen, dass für eine Palais-Smale-Sequenz, die schwach gegen Null konvergiert, die lokale Energie, die nichtlokale Energie und die kritische Masse auf jedem Annulus verschwinden. Dies ermöglicht es, die Konzentration der Masse zu isolieren.
3. Reskalierung: Ein spezifisches Reskalierungsargument wird eingesetzt, bei dem der Skalierungsfaktor sowohl die lokale $p$-Dirichlet-Energie als auch die nichtlokale Gagliardo-Seminorm erhält. Dies ist nur möglich, weil die isokritische Bedingung die Identität der Exponenten $-N + qs + q(N-p)/p = 0$ impliziert.
4. Regularität und Vergleich: Für die Zerfallsanalyse etablieren die Autoren ein schwaches Vergleichsprinzip und ein starkes Maximumprinzip für allgemeine Exponenten. Sie führen einen Hilfsraum $D^{s,p,q}(\Omega)$ ein, um die globale Natur des nichtlokalen Operators zu handhaben, während sie auf Außenbereichen testen. Eine logarithmische Energieabschätzung wird abgeleitert, um diese Prinzipien zu stützen.
5. Harnack-Ungleichung: Eine schwache Harnack-Ungleichung wird für nicht-negative Supersolutions etabliert, wobei eine De-Giorgi-Typ-Iteration verwendet wird, die den lokalen Term (Ordnung $r^{-p}$) und den nichtlokalen Term (Ordnung $r^{-sq}$) ausbalanciert. Die isokritische Identität stellt sicher, dass ein einziger Sobolev-Gewinnexponent beide Terme kontrolliert.

Zentrale Beiträge und Ergebnisse

• Existenz von Grundzuständen (Theorem 1.1): Die Arbeit beweist die Existung einer nicht-negativen radialen Grundzustandslösung $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ für das Problem $(P)$. Der Beweis zeigt, dass das Mountain-Pass-Niveau mit dem Minimum auf der Nehari-Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Es wird gezeigt, dass der Grundzustand mittels des starken Maximumprinzips strikt positiv ist.
• Scharfe zweiseitige Zerfallsschätzungen (Theorem 1.2): Die Autoren etablieren den präzisen asymptotischen Zerfall positiver radialer Lösungen im Unendlichen. Sie beweisen, dass Lösungen exakt in der Rate der fundamentalen Lösung des $p$-Laplace-Operators zerfallen:
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{wobei } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • Obere Schranke: Abgeleitet aus einer globalen $L^\infty$-Beschränkung und einer Grenzfall-Schwach-Lorentz-Abschätzung, die die Lösung in den Lorentz-Raum $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ mit $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$ einordnet.
  • Untere Schranke: Bewiesen durch Konstruktion geeigneter Sublösungen. Die Konstruktion hängt vom Vorzeichen von $\alpha(q-1) - N$ ab.
    • Wenn $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$, dient eine direkte Regularisierung des Profils $|x|^{-\alpha}$ als Sublösung.
    • Wenn $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$, verwenden die Autoren ein beschränktes Minimierungsproblem, um eine Vergleichsfunktion zu generieren, da das rohe Potenzprofil als Sublösung versagt.
• Regularitätsergebnisse: Die Arbeit etabliert eine logarithmische Energieabschätzung, ein schwaches Vergleichsprinzip und ein starkes Maximumprinzip für den Operator $L_{p,q}$ mit allgemeinen Exponenten (nicht beschränkt auf das isokritische Regime). Zusätzlich wird eine schwache Harnack-Ungleichung für das isokritische Regime bewiesen.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit beansprucht, das erste Variationsproblem für den gemischten $(p, q)$-Laplace-Operator bei „doppelt kritischem Wachstum“ zu präsentieren, bei dem die lokalen und nichtlokalen besten Sobolev-Konstanten gemeinsam das Variationsniveau bestimmen. Die Autoren betonen, dass das isokritische Regime einzigartig ist, weil:

1. Beide Operatoren gleichzeitig kritisch für dieselbe Nichtlinearität sind.
2. Beide Operatoren unter derselben kritischen Reskalierung invariant sind, was den „Skalierungskollaps“ des nichtlokalen Terms verhindert, der in nicht-isokritischen Fällen beobachtet wird.
3. Trotz der Konkurrenz zwischen den Operatoren der lokale $p$-Laplace-Operator das großräumige Verhalten (Zerfallsrate) diktiert. Der nichtlokale Term, obwohl essenziell für die Existenz und die Struktur des Energieraums, verändert das asymptotische Zerfallsprofil nicht, welches dem der fundamentalen Lösung des $p$-Laplace-Operators entspricht.

Die Autoren merken an, dass die obere Zerfallsschranke universell ist (gültig für allgemeine Exponenten), ihre Schärfe (Übereinstimmung mit der unteren Schranke) jedoch spezifisch für das isokritische Regime ist. Das Papier behauptet nicht, die Radialsymmetrie aller Grundzustände gelöst zu haben (lässt den Fall $1 < p < 2$ offen), sondern etabliert die Existenz radialer Grundzustände und deren spezifische Zerfallseigenschaften.