The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

Resumen Técnico: El Régimen Isocrítico para el $(p, q)$-Laplaciano Mixto Local-No Local

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia y las propiedades cualitativas de las soluciones de la ecuación crítica impulsada por el operador mixto local-no local $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ en todo el espacio $\mathbb{R}^N$:
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{en } \mathbb{R}^N,$$
donde $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$, y $1 < sq < N$. El enfoque central es el régimen isocrítico, definido por la condición $p^* = q^*_s$, donde $p^* = \frac{pN}{N-p}$ es el exponente de Sobolev crítico para el $p$-Laplaciano y $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ es el exponente crítico fraccionario para el $q$-Laplaciano. Esta condición es equivalente a $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$.

En regímenes no isocríticos (donde $p^* \neq q^*_s$), un operador típicamente domina la escala crítica, convirtiendo al otro en una perturbación de orden inferior. Los autores señalan que en trabajos previos sobre el caso lineal ($p=q=2$), se demostró que el término no local era subcrítico respecto al término local bajo el reescalado crítico, lo que conduce a una pérdida de compacidad donde la contribución fraccionaria desaparece. Este artículo aborda el delicado caso en el que ambos operadores son simultáneamente críticos para la misma no linealidad, haciendo que el término no local sea un "verdadero co-protagonista" en lugar de una perturbación.

Metodología y Marco de Trabajo
El análisis se basa en un enfoque variacional dentro del espacio de energía $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$. Bajo la condición isocrítica, la incrustión $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ se cumple, reduciendo el espacio de energía natural a $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$. Sin embargo, esta incrustión no es compacta, lo que requiere un análisis de compacidad-concentración refinado.

1. Estructura Variacional: Los autores utilizan el método de la variedad de Nehari para encontrar estados fundamentales. Definen el funcional de energía $J$ y la variedad de Nehari asociada $\mathcal{N}$. La prueba de existencia depende de un análisis de compacidad-concentración de doble umbral. A diferencia de los problemas críticos estándar que involucran una única constante de Sobolev, la pérdida de compacidad aquí está gobernada tanto por la constante de Sobolev óptima local $S$ como por la constante de Sobolev fraccionaria óptima $S_f$.
2. Localización de la Compacidad: Un paso técnico clave consiste en localizar la pérdida de compacidad en anillos. Los autores demuestran que para una sucesión de Palais-Smale que converge débilmente a cero, la energía local, la energía no local y la masa crítica desaparecen en cualquier anillo. Esto permite aislar la concentración de la masa.
3. Reescalado: Se emplea un argumento de reescalado específico donde el factor de escala preserva tanto la energía de Dirichlet-$p$ local como la seminorma de Gagliardo no local. Esto es posible únicamente porque la condición isocrítica implica la identidad de exponentes $-N + qs + q(N-p)/p = 0$.
4. Regularidad y Comparación: Para el análisis de decaimiento, los autores establecen un principio de comparación débil y un principio de máximo fuerte para exponentes generales. Introducen un espacio auxiliar $D^{s,p,q}(\Omega)$ para manejar la naturaleza global del operador no local mientras realizan pruebas en dominios exteriores. Se deriva una estimación de energía logarítmica para sustentar estos principios.
5. Inecuación de Harnack: Se establece una inecuación de Harnack débil para las supersoluciones no negativas, utilizando una iteración de tipo De Giorgi que equilibra el término local (orden $r^{-p}$) y el término no local (orden $r^{-sq}$). La identidad isocrítica asegura que un único exponente de ganancia de Sobolev controle ambos términos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Existencia de Estados Fundamentales (Teorema 1.1): El artículo demuestra la existencia de una solución de estado fundamental radial no negativa $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ para el problema $(P)$. La prueba demuestra que el nivel de paso de montaña coincide con el mínimo en la variedad de Nehari. Se muestra que el estado fundamental es estrictamente positivo mediante el principio de máximo fuerte.
• Estimaciones de Decaimiento de Dos Lados Precisas (Teorema 1.2): Los autores establecen el decaimiento asintótico preciso de las soluciones radiales positivas en el infinito. Demuestran que las soluciones decaen exactamente a la tasa de la solución fundamental del $p$-Laplaciano:
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{donde } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • Cota Superior: Derivada utilizando una cota $L^\infty$ global y una estimación de Lorentz débil en el límite, situando a la solución en el espacio de Lorentz $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ con $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$.
  • Cota Inferior: Probada mediante la construcción de subsoluciones adecuadas. La construcción depende del signo de $\alpha(q-1) - N$.
    • Si $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$, una regularización directa del perfil $|x|^{-\alpha}$ sirve como subsolución.
    • Si $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$, los autores emplean un problema de minimización restringida para generar una función de comparación, ya que el perfil de potencia pura no logra ser una subsolución.
• Resultados de Regularidad: El artículo establece una estimación de energía logarítmica, un principio de comparación débil y un principio de máximo fuerte para el operador $L_{p,q}$ con exponentes generales (no restringidos al caso isocrítico). Además, se prueba una inecuación de Harnack débil para el régimen isocrítico.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma presentar el primer problema variacional para el $(p, q)$-Laplaciano mixto en "crecimiento crítico doble", donde las constantes de Sobolev óptimas local y no local determinan conjuntamente el nivel variacional. Los autores enfatizan que el régimen isocrítico es único porque:

1. Ambos operadores son críticos para la misma no linealidad simultáneamente.
2. Ambos operadores son invariantes bajo el mismo reescalado crítico, evitando el "colapso de escala" del término no local observado en los casos no isocríticos.
3. A pesar de la competencia entre los operadores, el $p$-Laplaciano local dicta el comportamiento a gran escala (tasa de decaimiento) de las soluciones. El término no local, aunque esencial para la existencia y la estructura del espacio de energía, no altera el perfil de decaimiento asintótico, el cual sigue siendo el de la solución fundamental del $p$-Laplaciano.

Los autores señalan que, si bien la cota superior de decaimiento es universal (válida para exponentes generales), su nitidez (que coincida con la cota inferior) es específica del régimen isocrítico. El artículo no pretende resolver la simetría radial de todas las soluciones fundamentales (dejando abierto el caso $1 < p < 2$), sino que establece la existencia de soluciones fundamentales radiales y sus propiedades de decaimiento específicas.