The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

Technische Samenvatting: Het Isocritische Regime voor de Gemengde Lokale-(Niet-Lokale) $(p, q)$-Laplace-operator

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt het bestaan en de kwalitatieve eigenschappen van oplossingen aan de kritische vergelijking gedreven door de gemengde lokale-niet-lokale operator $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ in de gehele ruimte $\mathbb{R}^N$:
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N,$$
waarbij $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$, en $1 < sq < N$. De centrale focus ligt op het isocritische regime, gedefinieerd door de conditie $p^* = q^*_s$, waarbij $p^* = \frac{pN}{N-p}$ de kritische Sobolev-exponent is voor de $p$-Laplace-operator en $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ de fractale kritische exponent is voor de $q$-Laplace-operator. Deze conditie is equivalent aan $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$.

In niet-isocritische regimes (waar $p^* \neq q^*_s$) domineert doorgaans één operator de kritische schaling, waardoor de andere een laag-orde perturbatie wordt. De auteurs merken op dat in eerder werk op het lineaire geval ($p=q=2$), de niet-lokale term als subkritisch werd beschouwd ten opzichte van de lokale term onder kritische rescalering, wat leidde tot een verlies van compactheid waarbij de fractale bijdrage verdwijnt. Dit artikel behandelt het delicate geval waarin beide operatoren simultaan kritisch zijn voor dezelfde niet-lineariteit, waardoor de niet-lokale term een "echte mede-protagonist" is in plaats van een perturbatie.

Methodologie en Raamwerk
De analyse steunt op een variationele benadering binnen de energieruimte $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$. Onder de isocritische conditie houdt de inbedding $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ stand, waardoor de natuurlijke energieruimte wordt gereduceerd tot $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$. Deze inbedding is echter niet compact, wat een verfijnde concentratie-compactheidsanalyse noodzakelijk maakt.

1. Variationele Structuur: De auteurs maken gebruik van de Nehari-manifold methode om grondtoestanden te vinden. Ze definiëren de energiefunctie $J$ en de bijbehorende Nehari-manifold $\mathcal{N}$. Het bewijs van bestaan rust op een dubbele-drempel concentratie-compactheidsanalyse. In tegenstelling tot standaard kritische problemen met een enkele Sobolev-constante, wordt het verlies van compactheid hier beheerst door zowel de lokale beste Sobolev-constante $S$ als de fractale beste Sobolev-constante $S_f$.
2. Lokalisatie van Compactheid: Een cruciale technische stap is het lokaliseren van het verlies van compactheid op ringvormige gebieden (annuli). De auteurs bewijzen dat voor een Palais-Smale sequentie die zwak naar nul convergeert, de lokale energie, de niet-lokale energie en de kritische massa op elke annulus verdwijnen. Dit stelt hen in staat de concentratie van massa te isoleren.
3. Rescalering: Er wordt een specifieke rescalering-argument toegepast waarbij de schalingsfactor zowel de lokale $p$-Dirichlet-energie als de niet-lokale Gagliardo-seminorm behoudt. Dit is alleen mogelijk omdat de isocritische conditie de identiteit van de exponenten $-N + qs + q(N-p)/p = 0$ impliceert.
4. Regulariteit en Vergelijking: Voor de verval-analyse stellen de auteurs een zwak vergelijkingsprincipe en een sterk maximumprincipe vast voor algemene exponenten. Ze introduceren een hulpruimte $D^{s,p,q}(\Omega)$ om de globale aard van de niet-lokale operator te behandelen bij het testen op externe domeinen. Een logaritmische energie-inschatting wordt afgeleid om deze principes te ondersteunen.
5. Harnack-ongelijkheid: Een zwakke Harnack-ongelijkheid wordt vastgesteld voor niet-negatieve supersoluties, waarbij gebruik wordt gemaakt van een De Giorgi-type iteratie die de lokale term (orde $r^{-p}$) en de niet-lokale term (orde $r^{-sq}$) in evenwicht brengt. De isocritische identiteit zorgt ervoor dat een enkele Sobolev-winst-exponent beide termen controleert.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Bestaansbewijs van Grondtoestanden (Theorem 1.1): Het artikel bewijst het bestaan van een niet-negatieve radiale grondtoestand-oplossing $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ voor probleem $(P)$. Het bewijs toont aan dat het mountain-pass niveau samenvalt met het minimum op de Nehari-manifold. De grondtoestand wordt als strikt positief aangetoond via het sterke maximumprincipe.
• Scherpe Twee-Zijdige Verval-inschattingen (Theorem 1.2): De auteurs stellen de precieze asymptotische verval van positieve radiale oplossingen in de oneindigheid vast. Ze bewijzen dat oplossingen exact vervallen met de snelheid van de fundamentele oplossing van de $p$-Laplace-operator:
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{waarbij } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • Bovengrens: Afgeleid met behulp van een globale $L^\infty$-grens en een grenswaarde zwakke Lorentz-inschatting, waarbij de oplossing in de Lorentz-ruimte $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ wordt geplaatst met $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$.
  • Ondergrens: Bewezen door geschikte sub-oplossingen te construeren. De constructie hangt af van het teken van $\alpha(q-1) - N$.
    • Als $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$, dient een directe regularisatie van het profiel $|x|^{-\alpha}$ als een sub-oplossing.
    • Als $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$, gebruiken de auteurs een geconstrueerd minimalisatieprobleem om een vergelijkingsfunctie te genereren, aangezien het ruwe machtsprofiel faalt als sub-oplossing.
• Regulariteitsresultaten: Het artikel stelt een logaritmische energie-inschatting, een zwak vergelijkingsprincipe en een sterk maximumprincipe vast voor de $L_{p,q}$-operator met algemene exponenten (niet beperkt tot het isocritische geval). Daarnaast wordt een zwakke Harnack-ongelijkheid bewezen voor het isocritische regime.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt het eerste variationele probleem te presenteren voor de gemengde $(p, q)$-Laplace-operator bij "dubbel kritisch groeiend" karakter, waarbij de lokale en niet-lokale beste Sobolev-constanten gezamenlijk het variationele niveau bepalen. De auteurs benadrukken dat het isocritische regime uniek is omdat:

1. Beide operatoren simultaan kritisch zijn voor dezelfde niet-lineariteit.
2. Beide operatoren invariant zijn onder dezelfde kritische rescalering, wat de "scaling collapse" van de niet-lokale term voorkomt die in niet-isocritische gevallen wordt waargenomen.
3. Ondanks de competitie tussen de operatoren, de lokale $p$-Laplace-operator de grootschalige gedrag bepaalt (vervalsnelheid) van de oplossingen. De niet-lokale term, hoewel essentieel voor het bestaan en de structuur van de energieruimte, verandert het asymptotische vervalprofiel niet, dat blijft dat van de fundamentele oplossing van de $p$-Laplace-operator.

De auteurs merken op dat hoewel de bovengrens op verval universeel is (geldend voor algemene exponenten), de scherpte ervan (overeenkomend met de ondergrens) specifiek is voor het isocritische regime. Het artikel claimt niet de radiale symmetrie van alle grondtoestanden te hebben opgelost (hierbij blijft het geval $1 < p < 2$ open), maar stelt de existentie van radiale grondtoestanden en hun specifieke verval eigenschappen vast.