The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

技術要約：混合局所・非局所 $(p, q)$-ラプラシアンにおけるアイソクリティカル（等臨界）レジーム

問題設定
本論文は、全空間 $\mathbb{R}^N$ における混合局所・非局所演算子 $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ によって駆動される臨界方程式の解の存在と定性的性質を調査している：
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N,$$
ここで、$N \ge 2$、$1 < p < N$、$0 < s < 1$、$1 < sq < N$である。中心的な焦点は、**アイソクリティカル（等臨界）レジーム**であり、これは条件$p^* = q^_s$によって定義される。ここで$p^ = \frac{pN}{N-p}$は$p$-ラプラシアンの臨界ソボレフ指数であり、$q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$は$q$-ラプラシアンの分数次臨界指数である。この条件は$1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$ と同値である。

非アイソクリティカルなレジーム（$p^* \neq q^*_s$ の場合）では、通常、一方の演算子が臨界スケーリングにおいて支配的となり、他方は低次の摂動となる。著者らは、線形の場合（$p=q=2$）に関する先行研究において、臨界リスケーリングの下で非局所項が局所項に対して劣臨界であることが示されており、その結果、非局所的な寄与が消失するコンパクト性の喪失が生じると指摘している。本論文は、両方の演算子が同一の非線形性に対して同時に臨界となる、より繊細なケースに対処するものである。ここでは、非局所項は単なる摂動ではなく、「真の共主人公（genuine co-protagonist）」となる。

手法および枠組み
解析は、エネルギー空間 $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ 内での変分法に基づいている。アイソクリティカル条件下では、埋め込み $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ が成立するため、自然なエネルギー空間は $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ に縮退する。しかし、この埋め込みはコンパクトではないため、精緻な集中コンパクト性（concentration-compactness）解析が必要となる。

1. 変分構造: 著者らは、基底状態（ground states）を見出すためにネハリ多様体（Nehari manifold）法を利用する。彼らはエネルギー汎関数 $J$ と、それに関連するネハリ多様体 $\mathcal{mathcal{N}}$ を定義する。存在証明は、二重閾値集中コンパクト性解析に依存している。単一のソボレフ定数のみを扱う標準的な臨界問題とは異なり、ここでのコンパクト性の喪失は、局所的な最良ソボレフ定数 $S$ と分数次最良ソボレフ定数 $S_f$ の両方によって支配される。
2. コンパクト性の局在化: コンパクト性の喪失を環状領域（annuli）上に局在化させる手法が重要な技術的ステップである。著者らは、ゼロに弱収束するパーレ・スマレ（Palais-Smale）列について、局所エネルギー、非局所エネルギー、および臨界質量が任意の環状領域上で消失することを証明している。これにより、質量の集中を孤立させることが可能となる。
3. リスケーリング: 局所的な $p$-ディリクレエネルギーと非局所的なガリャルト・セミノルムの両方を保存するスケーリング因子を用いるリスケーリング議論が採用されている。これは、アイソクリティカル条件が指数の恒等式 $-N + qs + q(N-p)/p = 0$ を意味するため、初めて可能となる。
4. 正則性と比較: 減衰解析のために、一般の指数に対する弱比較原理と強最大原理を確立する。著者らは、非局所的な性質を持つ演算子を外部領域上でテストするために、補助的な空間 $D^{s,p,q}(\Omega)$ を導入する。また、これらの原理を支えるために、対数エネルギー評価が導出される。
5. ハーディック不等式: 非負の超解に対する弱ハーディック不等式が、局所項（次数 $r^{-p}$）と非局所項（次数 $r^{-sq}$）のバランスをとるデ・ジオーグ（De Giorgi）型のイテレーションを用いて確立される。アイソクリティカルな恒等性は、単一のソボレフ利得指数が両方の項を制御することを保証する。

主要な貢献および結果

• 基底状態の存在 (Theorem 1.1): 本論文は、問題 $(P)$ に対する非負の径方向基底状態解 $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ の存在を証明している。証明は、マウンテンパス・レベルがネハリ多様体上の最小値と一致することを示している。基底状態は、強最大原理を通じて厳密に正であることが示される。
• 鋭い両側減衰評価 (Theorem 1.2): 著者らは、正の径方向解の無限遠における正確な漸近減衰を確立している。彼らは、解が $p$-ラプラシアンの基本解と全く同じ速度で減衰することを証明している：
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{ここで } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • 上界: 全域的な $L^\infty$ 有界性と境界的な弱ローレンツ評価を用いることで、解をローレンツ空間 $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ （ただし $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$）に位置づける。
  • 下界: 適切な劣解を構成することによって証明される。この構成は $\alpha(q-1) - N$ の符号に依存する。
    • $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$ の場合、プロファイル $|x|^{-\alpha}$ の直接的な正則化が劣解として機能する。
    • $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$ の場合、生のべき乗プロファイルが劣解にならないため、比較関数を生成するために制約付き最小化問題を適用する。
• 正則性の結果: 論文は、一般の指数（アイソクリティカルなケースに限定されない）に対して、対数エネルギー評価、弱比較原理、および $L_{p,q}$ の強最大原理を確立している。さらに、アイソクリティカル・レジームにおける弱ハーディック不等式も証明されている。

意義および主張
本論文は、局所的および非局所的な最良ソボレフ定数が共に変分レベルを決定する「二重臨界成長」における、混合 $(p, q)$-ラプラシアンの最初の変分問題を提示していると主張している。著者らは、アイソクリティカル・レジームが以下の理由により独特であると強調している：

1. 両方の演算子が同時に同一の非線形性に対して臨界であること。
2. 両方の演算子が同一の臨界リスケーリングに対して不変であり、非アイソクリティカルなケースで見られる非局所項の「スケーリング崩壊」を防いでいること。
3. 演算器間の競合にもかかわらず、局所的な $p$-ラプラシアンが大スケールの挙動（減衰率）を決定すること。非局所項は、存在性とエネルギー空間の構造には不可欠であるが、漸近的な減衰プロファイルを変えることはなく、その減衰は $p$-ラプラシアンの基本解の減衰率に留まる。

著者らは、減衰の上界は普遍的（一般の指数でも成立する）であるが、その鋭さ（下界と一致すること）はアイソクリティカル・レジームに特有のものであると述べている。また、本論文はすべての基底状態の径方向対称性を解決したと主張しているわけではなく（$1 < p < 2$ のケースは未解決のまま残されている）、径方向基底状態の存在とその特定の減衰特性を確立している。