The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

技术摘要：混合局部-非局部 $(p, q)$-Laplacian 的等临界机制 (Isocritical Regime)

问题陈述
本文研究了在整个空间 $\mathbb{R}^N$ 中，由混合局部-非局部算子 $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ 驱动的临界方程解的存在性及其定性性质：
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{在 } \mathbb{R}^N \text{ 中},$$
其中 $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$, 且 $1 < sq < N$。研究的核心焦点是等临界机制 (isocritical regime)，该机制由条件 $p^* = q^*_s$ 定义，其中 $p^* = \frac{pN}{N-p}$ 是 $p$-Laplacian 的临界 Sobolev 指数，而 $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ 是分数阶 $q$-Laplacian 的分数临界指数。该条件等价于 $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$。

在非等临界机制（即 $p^* \neq q^*_s$）中，通常一个算子会主导临界标度，从而使另一个算子成为低阶扰动。作者指出，在以往关于线性情形（$p=q=2$）的研究中，非局部项被证明相对于局部项在临界重标度下是次临界的，这导致了紧性丢失，即分数阶贡献消失。本文处理的是更为微妙的情况，即两个算子对于同一非线性函数同时处于临界状态，使得非局部项成为了一个“真正的共同主角 (genuine co-protagonist)”，而非仅仅是一个扰动。

方法论与框架
分析基于能量空间 $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ 内的变分方法。在等临界条件下，嵌入 $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ 成立，从而将自然的能量空间简化为 $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$。然而，由于该嵌入不是紧的，因此需要更精细的集中紧性分析 (concentration-compactness analysis)。

1. 变分结构： 作者利用 Nehari 流形方法来寻找基态解。他们定义了能量泛函 $J$ 及其相关的 Nehari 流形 $\mathcal{N}$。存在性证明取决于双阈值集中紧性分析 (double-threshold concentration-compactness analysis)。不同于涉及单一 Sobolev 常数的标准临界问题，此处的紧性丢失受局部最佳 Sobolev 常数 $S$ 和分数阶最佳 Sobolev 常数 $S_f$ 的共同支配。
2. 紧性的局部化： 一个关键的技术步骤是将紧性的丢失定位在圆环上。作者证明了对于弱收敛于零的 Palais-Smale 序列，局部能量、非局部能量以及临界质量在任何圆环上均消失。这使得他们能够隔离质量的集中现象。
3. 重标度 (Rescaling)： 采用了一种特定的重标度算法，其缩放因子同时保持了局部 $p$-Dirichlet 能量和非局部 Gagliardo 范数的稳定性。这之所以可行，是因为等临界条件蕴含了指数恒等式 $-N + qs + q(N-p)/p = 0$。
4. 正则性与比较： 对于衰减分析，作者建立了适用于一般指数的弱比较原理和强极大值原理。他们引入了一个辅助空间 $D^{s,p,q}(\Omega)$，以在对外部域进行测试时处理非局部算子的全局特性。此外，推导出了一个对数能量估计，以支持这些原理。
5. Harnack 不等式： 建立了一个针对非负超解的弱 Harnack 不等式，利用一种平衡了局部项（阶数为 $r^{-p}$）与非局部项（阶数为 $r^{-sq}$）的 De Giorgi 型迭代。等临界恒等式确保了单一的 Sobolev 增益指数可以控制这两项。

主要贡献与结果

• 基态解的存在性 (定理 1.1)： 本文证明了问题 $(P)$ 存在一个非负径向基态解 $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$。证明表明，山路引理能级 (mountain pass level) 与 Nehari 流形上的最小值相等。通过强极大值原理，证明了基态解是严格正的。
• 锐利的双侧衰减估计 (定理 1.2)： 作者确定了正径向解在无穷远处的精确渐近衰减速率。他们证明了解的衰减速率恰好等于 $p$-Laplacian 基本解的速率：
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{其中 } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • 上界： 通过全局 $L^\infty$ 估计和边界弱 Lorentz 估计得出，将解置于 Lorentz 空间 $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ 中，其中 $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$。
  • 下界： 通过构造合适的次解 (subsolutions) 来证明。构造过程取决于 $\alpha(q-1) - N$ 的符号。
    • 若 $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$，则直接对剖面函数 $|x|^{-\alpha}$ 进行正则化即可作为次解。
    • 若 $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$，作者采用一个约束极小化问题来生成一个比较函数，因为原始的幂函数剖面在此情况下无法作为次解。
• 正则性结果： 本文建立了适用于一般指数（不限于等临界情况）的对数能量估计、弱比较原理和强极大值原理。此外，还证明了等临界机制下的弱 Harnack 不等式。

意义与主张

本文声称展示了第一个处于“双重临界增长”状态下的混合 $(p, q)$-Laplacian 变分问题，其中局部与非局部最佳 Sobolev 常数共同决定了变分能级。作者强调，等临界机制之所以独特，是因为：

1. 两个算子对于同一个非线性函数同时处于临界状态。
2. 两个算子在相同的临界重标度下保持不变，从而防止了在非等临界情况下观察到的非局部项“标度坍缩 (scaling collapse)”现象。
3. 尽管算子之间存在竞争，但局部 $p$-Laplacian 决定了大尺度行为（衰减速率）。非局部项虽然对于存在性和能量空间的结构至关重要，但它并不改变渐近衰减剖面，该剖面仍保持为 $p$-Laplacian 基本解的形式。

作者指出，虽然上界衰减是普适的（对一般指数成立），但其锐利性（与下界匹配）是等临界机制特有的。本文并未声称解决了所有基态解的径向对称性问题（留下了 $1 < p < 2$ 的情况），而是确立了径向基态解的存在性及其特定的衰减性质。