The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

Sintesi Tecnica: Il Regime Isocritico per il Laplaciano Misto Locale-Nonlocale $(p, q)$

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga l'esistenza e le proprietà qualitative delle soluzioni dell'equazione critica guidata dall'operatore misto locale-nonlocale $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ in tutto lo spazio $\mathbb{R}^N$:
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N,$$
dove $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$, e $1 < sq < N$. Il focus centrale è il regime isocritico, definito dalla condizione $p^* = q^*_s$, dove $p^* = \frac{pN}{N-p}$ è l'esponente di Sobolev critico per il $p$-Laplaciano e $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ è l'esponente critico frazionario per il $q$-Laplaciano. Tale condizione è equivalente a $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$.

Nei regimi non isocritici (dove $p^* \neq q^*_s$), un operatore tipicamente domina la scalatura critica, rendendo l'altro un termine di ordine inferiore. Gli autori osservano che in lavori precedenti sul caso lineare ($p=q=2$), il termine nonlocale è stato dimostrato essere subcritico rispetto al termine locale sotto riscalatura critica, portando a una perdita di compattezza in cui il contributo frazionario svanisce. Questo articolo affronta il delicato caso in cui entrambi gli operatori sono simultaneamente critici per la stessa nonlinearità, rendendo il termine nonlocale un "vero co-protagonista" piuttosto che una perturbazione.

Metodologia e Framework
L'analisi si basa su un approccio variazionale all'interno dello spazio di energia $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$. Sotto la condizione isocritica, l'immersione $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ è soddisfatta, riducendo lo spazio di energia naturale a $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$. Tuttavia, questa immersione non è compatta, rendendo necessaria un'analisi di concentrazione-compattezza più raffinata.

1. Struttura Variazionale: Gli autori utilizzano il metodo del manifold di Nehari per trovare gli stati fondamentali. Definiscono il funzionale dell'energia $J$ e il relativo manifold di Nehari $\mathcal{N}$. La prova di esistenza si basa su un'analisi di concentrazione-compattezza a doppia soglia. A differenza dei problemi critici standard che coinvolgono un singolo costante di Sobolev, la perdita di compattezza qui è governata da entrambe la costante di Sobolev migliore locale $S$ e la costante di Sobolev migliore frazionaria $S_f$.
2. Localizzazione della Compattezza: Un passaggio tecnico chiave consiste nel localizzare la perdita di compattezza su anelli. Gli autori dimostrano che per una sequenza di Palais-Smale che converge debolmente a zero, l'energia locale, l'energia nonlocale e la massa critica svaniscono su ogni anello. Ciò consente di isolare la concentrazione della massa.
3. Riscalatura: Viene impiegato un particolare argomento di riscalatura in cui il fattore di scala preserva sia l'energia $p$-Dirichlet locale che la seminorma di Gagliardo nonlocale. Ciò è possibile solo perché la condizione isocritica implica l'identità degli esponenti $-N + qs + q(N-p)/p = 0$.
4. Regolarità e Confronto: Per l'analisi del decadimento, gli autori stabiliscono un principio di confronto debole e un principio di massimo forte per esponenti generali. Introducono uno spazio ausiliario $D^{s,p,q}(\Omega)$ per gestire la natura globale dell'operatore nonlocale pur testando su domini esterni. Viene derivata una stima di energia logaritmica per supportare tali principi.
5. Disuguaglianza di Harnack: Una disuguaglianza di Harnack debole viene stabilita per le sovrasoluzioni non negative, utilizzando un'iterazione di tipo De Giorgi che bilancia il termine locale (ordine $r^{-p}$) e il termine nonlocale (ordine $r^{-sq}$). L'identità isocritica assicura che un singolo esponente di guadagno di Sobolev controlli entrambi i termini.

Contributi Chiave e Risultati

• Esistenza di Stati Fondamentali (Teorema 1.1): Il documento prova l'esistenza di una soluzione radiale non negativa dello stato fondamentale $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ per il problema $(P)$. La prova dimostra che il livello di passaggio di montagna coincide con il minimo sul manifold di Nehari. Si dimostra che lo stato fondamentale è strettamente positivo tramite il principio di massimo forte.
• Stime di Decadimento Sharp a Due Facce (Teorema 1.2): Gli autori stabiliscono il preciso decadimento asintotico delle soluzioni radiali positive all'infinito. Dimostrano che le soluzioni decadono esattamente al tasso della soluzione fondamentale del $p$-Laplaciano:
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{dove } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • Limite Superiore: Derivato utilizzando un limite $L^\infty$ globale e una stima borderline nello spazio Lorentz debole, collocando la soluzione nello spazio Lorentz $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ con $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$.
  • Limite Inferiore: Provato costruendo sottosoluzioni idonee. La costruzione dipende dal segno di $\alpha(q-1) - N$.
    • Se $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$, una regolarizzazione diretta del profilo $|x|^{-\alpha}$ funge da sottosoluzione.
    • Se $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$, gli autori impiegano un problema di minimizzazione vincolata per generare una funzione di confronto, poiché il profilo di potenza grezzo non riesce a essere una sottosoluzione.
• Risultati di Regolarità: Il documento stabilisce una stima di energia logaritmica, un principio di confronto debole e un principio di massimo forte per l'operatore $L_{p,q}$ con esponenti generali (non limitati al caso isocritico). Inoltre, viene provata una disuguaglianza di Harnack debole per il regime isocritico.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di presentare il primo problema variazionale per il $(p, q)$-Laplaciano misto alla "doppia crescita critica" dove le costanti di Sobolev migliori locale e nonlocale determinano congiuntamente il livello variazionale. Gli autori sottolineano che il regime isocritico è unico perché:

1. Entrambi gli operatori sono critici per la stessa nonlinearità simultaneamente.
2. Entrambi gli operatori sono invarianti sotto la stessa riscalatura critica, prevenendo il "collasso di scalatura" del termine nonlocale osservato nei casi non isocritici.
3. Nonostante la competizione tra gli operatori, il $p$-Laplaciano locale detta il comportamento su larga scala (tasso di decadimento) delle soluzioni. Il termine nonlocale, pur essendo essenziale per l'esistenza e la struttura dello spazio di energia, non altera il profilo di decadimento asintotico, che rimane quello della soluzione fondamentale del $p$-Laplaciano.

Gli autori notano che, sebbene il limite superiore sul decadimento sia universale (valido per esponenti generali), la sua nitidezza (che corrisponde al limite inferiore) è specifica del regime isocritico. Il documento non pretende di risolvere la simmetria radiale di tutti gli stati fondamentali (lasciando aperto il caso $1 < p < 2$), ma stabilisce l'esistenza di stati fondamentali radiali e le loro specifiche proprietà di decadimento.