The isocritical regime for mixed local-nonlocal $(p,q)$ Laplacian: existence of ground state, and decay estimates

Resumo Técnico: O Regime Isocrítico para o $(p, q)$-Laplaciano Misto Local-Não Local

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a existência e as propriedades qualitativas de soluções para a equação crítica impulsionada pelo operador misto local-não local $L_{p,q} := -\Delta_p + (-\Delta)^s_q$ em todo o espaço $\mathbb{R}^N$:
$$-\Delta_p u + (-\Delta)^s_q u = |u|^{p^*-2}u \quad \text{em } \mathbb{R}^N,$$
onde $N \ge 2$, $1 < p < N$, $0 < s < 1$, e $1 < sq < N$. O foco central é o regime isocrítico, definido pela condição $p^* = q^*_s$, onde $p^* = \frac{pN}{N-p}$ é o expoente de Sobolev crítico para o $p$-Laplaciano e $q^*_s = \frac{qN}{N-sq}$ é o expoente crítico fracionário para o $q$-Laplaciano. Esta condição é equivalente a $1 - \frac{N}{p} = s - \frac{N}{q}$.

Em regimes não isocríticos (onde $p^* \neq q^*_s$), um operador tipicamente domina a escala crítica, tornando o outro uma perturbação de ordem inferior. Os autores observam que, em trabalhos anteriores sobre o caso linear ($p=q=2$), o termo não local foi mostrado como subcrítico em relação à escala crítica, levando a uma perda de compacidade onde a contribuição fracionária desaparece. Este artigo aborda o caso delicado onde ambos os operadores são simultaneamente críticos para a mesma não linearidade, tornando o termo não local um "verdadeiro co-protagonista" em vez de uma perturbação.

Metodologia e Estrutura
A análise baseia-se em uma abordagem variacional dentro do espaço de energia $X_0(\mathbb{R}^N) = D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \cap D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$. Sob a condição isocrítica, o embutimento $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow D^{s,q}_0(\mathbb{R}^N)$ ocorre, reduzindo o espaço de energia natural para $D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$. No entanto, este embutimento não é compacto, necessitando de uma análise de compacidade-concentração refinada.

1. Estrutura Variacional: Os autores utilizam o método do manifold de Nehari para encontrar estados fundamentais. Eles definem o funcional de energia $J$ e o manifold de Nehari associado $\mathcal{N}$. A prova de existência baseia-se em uma análise de compacidade-concentração de limiar duplo. Diferente dos problemas críticos padrão envolvendo uma única constante de Sobolev, a perda de compacidade aqui é governada por ambas a constante de Sobolev de melhor $p$-Laplaciano local $S$ e a constante de Sobolev fracionária de melhor $q$-Laplaciano $S_f$.
2. Localização da Compacidade: Um passo técnico fundamental envolve localizar a perda de compacidade em anéis. Os autores provam que, para uma sequência de Palais-Smale que converge fracamente para zero, a energia local, a energia não local e a massa crítica desaparecem em qualquer anel. Isso permite isolar a concentração de massa.
3. Redimensionamento (Rescaling): Um argumento de redimensionamento específico é empregado onde o fator de escala preserva tanto a energia $p$-Dirichlet local quanto a semínorma de Gagliardo não local. Isso só é possível porque a condição isocrítica implica a identidade de expoentes $-N + qs + q(N-p)/p = 0$.
4. Regularidade e Comparação: Para a análise de decaimento, os autores estabelecem um princípio de comparação fraco e um princípio do máximo forte para expoentes gerais. Eles introduzem um espaço auxiliar $D^{s,p,q}(\Omega)$ para lidar com a natureza global do operador não local ao testar em domínios exteriores. Uma estimativa de energia logarítmica é derivada para sustentar esses princípios.
5. Desigualdade de Harnack: Uma desigualdade de Harnack fraca é estabelecida para supersoluções não negativas, utilizando uma iteração do tipo De Giorgi que equilibra o termo local (ordem $r^{-p}$) e o termo não local (ordem $r^{-sq}$). A identidade isocrítica garante que um único expoente de ganho de Sobolev controle ambos os termos.

Principais Contribuições e Resultados

• Existência de Estados Fundamentais (Teorema 1.1): O artigo prova a existência de uma solução de estado fundamental radial não negativa $u \in D^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)$ para o problema $(P)$. A prova demonstra que o nível de passagem de montanha coincide com o mínimo no manifold de Nehari. O estado fundamental é mostrado como estritamente positivo via princípio do máximo forte.
• Estimativas de Decaimento de Dois Lados Estreitas (Teorema 1.2): Os autores estabelecem o decaimento assintótico preciso de soluções radiais positivas no infinito. Eles provam que as soluções decaem exatamente na taxa da solução fundamental do $p$-Laplaciano:
  $$c_1 |x|^{-\alpha} \le U(x) \le c_2 |x|^{-\alpha}, \quad \text{onde } \alpha = \frac{N-p}{p-1}.$$
  • Limite Superior: Derivado usando uma cota $L^\infty$ global e uma estimativa de Lorentz fraca de fronteira, posicionando a solução no espaço de Lorentz $L^{\eta_0, \infty}(\mathbb{R}^N)$ com $\eta_0 = \frac{(p-1)N}{N-p}$.
  • Limite Inferior: Provado através da construção de subsoluções adequadas. A construção depende do sinal de $\alpha(q-1) - N$.
    • Se $q > \frac{p(N-1)}{N-p}$, uma regularização direta do perfil $|x|^{-\alpha}$ serve como uma subsolução.
    • Se $q < \frac{p(N-1)}{N-p}$, os autores empregam um problema de minimização restrita para gerar uma função de comparação, pois o perfil de potência bruta falha em ser uma subsolução.
• Resultados de Regularidade: O artigo estabelece uma estimativa de energia logarítmica, um princípio de comparação fraco e um princípio do máximo forte para o operador $L_{p,q}$ com expoentes gerais (não restritos ao caso isocrítico). Adicionalmente, uma desigualdade de Harnack fraca é provada para o regime isocrítico.

Significância e Alegações
O artigo afirma apresentar o primeiro problema variacional para o $(p, q)$-Laplaciano misto em "crescimento crítico duplo", onde as constantes de Sobolev de melhor $p$ e $q$ determinam conjuntamente o nível variacional. Os autores enfatizam que o regime isocrítico é único porque:

1. Ambos os operadores são críticos para a mesma não linearidade simultaneamente.
2. Ambos os operadores são invariantes sob a mesma escala crítica de redimensionamento, prevenindo o "colapso de escala" do termo não local observado em casos não isocríticos.
3. Apesar da competição entre os operadores, o $p$-Laplaciano local dita o comportamento em grande escala (taxa de decaimento) das soluções. O termo não local, embora essencial para a existência e para a estrutura do espaço de energia, não altera o perfil de decaimento assintótico, que permanece sendo o da solução fundamental do $p$-Laplaciano.

Os autores observam que, embora o limite superior de decaimento seja universal (válido para expoentes gerais), sua estreiteza (correspondendo ao limite inferior) é específica ao regime isocrítico. O artigo não pretende resolver a simetria radial de todas as soluções fundamentais (deixando o caso $1 < p < 2$ em aberto), mas estabelece a existência de soluções fundamentais radiais e suas propriedades de decaimento específicas.