System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

Resumen Técnico: Síntesis de Nivel de Sistema para Políticas de Control Afines

Formulación del Problema
El Control Predictivo Basado en Modelo (MPC) tradicional para sistemas con dinámicas complejas y no lineales suele depender de aproximaciones lineales o soluciones afines por partes que son difíciles de caracterizar globalmente. Si bien la Síntesis de Nivel de Sistema (SLS) ha surgido como un marco poderoso para el diseño de controladores para sistemas lineales a gran escala mediante la parametrización de respuestas en bucle cerrado, los enfoques de SLS existentes están restringidos a sistemas lineales y políticas de control lineales variantes en el tiempo. Esta limitación impide que el SLS capture la naturaleza afín por partes inherente a las soluciones óptimas de MPC, particularmente para sistemas con términos constantes (sistemas afines) y restricciones. Además, aunque los métodos de control basados en datos han avanzado, la integración de estos con formulaciones de bucle cerrado para políticas afines bajo restricciones sigue siendo un desafío abierto.

Metodología
El artículo introduce una novedosa parametrización de bucle cerrado que extiende el marco de SLS para acomodar políticas de control afines variantes en el tiempo. La metodología central involucra dos configuraciones primarias:

1. Configuración Basada en el Modelo:
   Los autores definen un sistema afín variante en el tiempo $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$, donde $s$ es un término constante. Proponen una política de control afín de la forma $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$. Al utilizar operadores de bloque diagonal y el operador de desplazamiento descendente por bloques $Z$, derivan una parametrización de bucle cerrado donde las trayectorias de estado y entrada ($x, u$) se expresan como mapas lineales de la perturbación $w$ y un término constante (representado por un escalar 1).

   • Teorema 1 establece que el conjunto de todos los posibles mapas de bucle cerrado está caracterizado por una restricción de subespacio afín que involucra las matrices del sistema y los nuevos parámetros de respuesta ($\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$).
   • Corolario 2 demuestra que el problema de optimización de MPC estándar (minimizando un costo cuadrático sujeto a restricciones afines) puede reformularse equivalentemente como una optimización sobre estos mapas de bucle cerrado. Esto permite que el problema de MPC se resuelva directamente en el espacio de las respuestas del sistema en lugar de en el espacio de las entradas de control.

2. Configuración Basada en Datos:
   Extendiendo el enfoque a escenarios donde las matrices del sistema $A, B, s$ son desconocidas, los autores aprovechan el Lema Fundamental de Willems adaptado para sistemas afines.

   • Teorema 2 muestra que para sistemas afines invariantes en el tiempo, las respuestas del sistema en bucle cerrado pueden caracterizarse equivalentemente utilizando matrices de Hankel construidas a partir de una única trayectoria de datos de estado y entrada persistentemente excitante (PE).
   • Corolario 3 reformula el problema de MPC enteramente en términos de estas matrices de Hankel basadas en datos y variables auxiliares ($G, \hat{g}$), eliminando la necesidad de identificación explícita del sistema.

Contribuciones Clave

• Generalización de SLS: El trabajo proporciona la primera extensión del marco de SLS a políticas afines variantes en el tiempo, permitiendo que el marco capture los comportamientos afines inherentes a los problemas de MPC con restricciones.
• Reformulación de MPC de Bucle Cerrado: Establece una formulación equivalente de problemas generales de MPC (con costos cuadráticos, modelos de predicción afines y restricciones politópicas) utilizando mapas de bucle cerrado, tanto en entornos basados en modelos como basados en datos.
• SLS Afín Basado en Datos: El artículo introduce una parametrización basada en datos para sistemas afines que depende únicamente de datos de trayectorias pasadas, eliminando el requisito de conocimiento explícito del término constante $s$ o de las matrices del sistema.

Resultados
Los autores validan su enfoque mediante experimentos numéricos en un modelo de dinámica de oscilación de un generador de sistemas de potencia linealizado, que incluye fricción de Coulomb constante (un término afín). La simulación compara tres controladores:

1. MPC Tradicional Basado en el Modelo.
2. SLS Afín Basado en el Modelo.
3. SLS Afín Basado en Datos.

Los resultados demuestran que tanto la formulación de SLS afín basada en el modelo como la basada en datos logran un rendimiento a la par con el MPC tradicional basado en el modelo. Específicamente, las trayectorias de estado y entrada generadas por los tres métodos son idénticas, confirmando que las propuestas parametrizaciones pueden recuperar exactamente la solución óptima de MPC sin la carga computacional de resolver el problema original de alta dimensión o no convexo en el espacio de las entradas.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma ser el primer trabajo en extender la Síntesis de Nivel de Sistema a políticas afines tanto en entornos basados en modelos como basados en datos. Su principal significancia radica en cerrar la brecha entre las ventajas teóricas de SLS (como el control distribuido y la robustez) y la necesidad práctica de manejar dinámicas afines y restricciones encontradas en aplicaciones de MPC del mundo real. Al permitir una formulación equivalente de MPC utilizando mapas de bucle cerrado, el enfoque facilita el diseño de controladores para sistemas donde las políticas lineales son insuficientes, manteniendo al mismo tiempo los beneficios estructurales y computacionales del marco de SLS. Los autores señلون que, si bien el presente trabajo se centra en el control nominal, las extensiones a casos distribuidos con garantías de estabilidad quedan para trabajos futuros.