System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

技術要約：アフィン制御ポリシーのためのシステムレベル合成

問題の定式化
複雑で非線形なダイナミクスを持つシステムに対する従来のモデル予測制御（MPC）は、線形近似や区分的アフィン解に依存することが多く、これらはグローバルに特徴付けることが困難です。System Level Synthesis (SLS) は、閉ループ応答をパラメータ化することで大規模線形システムのコントローラを設計するための強力なフレームワークとして台頭してきましたが、既存のSLS手法は線形システムおよび時変線形制御ポリシーに限定されています。この制限により、特に定数オフセット（アフィンシステム）や制約を持つシステムにおいて、最適なMPC解が持つ固有の区分的アフィンの性質を捉えることができません。さらに、データ駆動型制御手法が進展している一方で、アフィン・ポリシーかつ制約条件下での閉ループ定式化との統合は、依然として未解決の課題となっています。

手法
本論文では、時変アフィン制御ポリシーを収容するためにSLSフレームワークを拡張した、新しい閉ループ・パラメータ化を導入しています。コアとなる手法には、主に以下の2つの設定が含まれます。

1. モデルベースの設定:
   著者らは、離散時間時変アフィンシステム $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$ を定義します（ここで $s$ は定数項）。彼らは、$u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$ という形式のアフィン制御ポリシーを提案しています。ブロック対角演算子とブロック・ダウンシフト演算子 $Z$ を利用することで、状態および入力の軌跡（$x, u$）が、外乱 $w$ と定数項（スカラー1で表される）の線形写像として表現される閉ループ・パラメータ化を導出しています。

   • 定理1は、アフィン・ポリシーの下でのすべての可能な閉ループ写像の集合が、システム行列と新しい応答パラメータ（$\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$）を含むアフィン部分空間の制約によって特徴付けられることを確立しています。
   • 系2は、標準的なMPC最適化問題（二次コストをアフィン制約の下で最小化する問題）が、これらの閉ループ写像上の最適化問題として等価に再定式化できることを示しています。これにより、MPC問題を制御入力ではなく、システムの応答の空間で直接解くことが可能になります。

2. データ駆動の設定:
   システム行列 $A, B, s$ が未知であるシナリオへの拡張として、著者らはWillemsの基本補題をアフィンシステムに適応させて活用しています。

   • 定理2は、時不変アフィンシステムにおいて、閉ループシステムの応答が、過去の状態と入力の単一の持続的励起（PE）軌跡から構成されるハンケル行列を用いて等価に特徴付けられることを示しています。
   • 系3は、MPC問題をこれらのデータ駆動型ハンケル行列と補助変数（$G, \hat{g}$）のみを用いて完全に再定式化し、明示的なシステム同定の必要性を排除しています。

主な貢献

• SLSの一般化: 本研究は、SLSフレームワークを時変アフィン・ポリシーへと拡張した最初の成果であり、制約付きMPC問題に見られるアフィンな挙動を捉えることを可能にします。
• 閉ループMPCの再定式化: モデルベースおよびデータ駆動の両方の設定において、一般的なMPC問題（二次コスト、アフィン予測モデル、および多面体制約を伴うもの）を、閉ループ写像を用いた等価な定式化として確立しました。
• データ駆動型アフィンSLS: 定数項 $s$ やシステム行列の明示的な知識を必要とせず、過去の軌跡データのみに依存するアフィンシステムのためのデータ駆動型パラメータ化を導入しました。

結果
著者らは、定数クーロン摩擦（アフィン項）を含む電力系統発電機の線形化スイング・ダイナミクスモデルを用いた数値実験を通じて、提案手法を検証しています。シミュレーションでは、以下の3つのコントローラを比較しています：

1. 従来のモデルベースMPC
2. モデルベース・アフィンSLS
3. データ駆動型アフィンSLS

実験結果は、モデルベースおよびデータ駆動型の両方のアフィンSLS定式化が、従来のモデルベースMPCと同等の性能を達成することを示しています。具体的には、3つの手法すべてによって生成された状態および入力の軌跡は同一であり、提案されたパラメータ化が、元の非凸または高次元の入力空間問題の計算負荷を負うことなく、最適なMPC解を正確に復元できることを裏付けています。

意義と主張
本論文は、モデルベースおよびデータ駆動の両方の設定において、System Level Synthesisをアフィン・ポリシーに拡張した最初の研究であると主張しています。その主要な意義は、SLSの理論的利点（分散制御やロバスト性など）と、現実世界のMPCアプリケーションに見られるアフィン・ダイナミクスや制約を扱うという実用的な必要性との間の溝を埋めることにあります。MPCを閉ループ写像を用いて等価な定式化にすることで、本アプローチは、線形ポリシーでは不十分なシステムに対してコントローラの設計を容易にしつつ、SLSフレームワークの計算的および構造的な利点を維持することを可能にします。著者らは、現在の研究はノミナル制御に焦点を当てており、安定性の保証を伴う分散ケースへの拡張は今後の課題であると述べています。