System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

Sintesi Tecnica: Sintesi a Livello di Sistema per Politiche di Controllo Affini

Formulazione del Problema
Il controllo predittivo basato su modello (MPC) tradizionale per sistemi con dinamiche complesse e non lineari si affida spesso ad approssimazioni lineari o soluzioni affine a tratti che sono difficili da caratterizzare globalmente. Sebbene la Sintesi a Livello di Sistema (SLS) sia emersa come un potente framework per la progettazione di controllori per sistemi lineari di grandi dimensioni attraverso la parametrizzazione delle risposte in anello chiuso, gli approcci SLS esistenti sono limitati ai sistemi lineari e alle politiche di controllo lineari nel tempo. Questa limitazione impedisce all'SLS di catturare la natura intrinsecamente affine a tratti delle soluzioni ottimali MPC, in particolare per sistemi con termini costanti (sistemi affini) e vincoli. Inoltre, sebbene i metodi di controllo basati sui dati abbiano fatto progressi, l'integrazione con formulazioni in anello chiuso per politiche affini sotto vincoli rimane una sfida aperta.

Metodologia
Il documento introduce una nuova parametrizzazione in anello chiuso che estende il framework SLS per accomodare politiche di controllo affini varianti nel tempo. La metodologia principale prevede due setting primari:

1. Setting Basato sul Modello:
   Gli autori definiscono un sistema affine discreto variante nel tempo $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$, dove $s$ è un termine costante. Propongono una politica di controllo affine della forma $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$. Utilizzando operatori diagonali a blocchi e l'operatore di shift verso il basso a blocchi $Z$, derivano una parametrizzazione in anello chiuso in cui le traiettorie di stato e di ingresso ($x, u$) sono espresse come mappe lineari della perturbazione $w$ e di un termine costante (rappresentato dallo scalare 1).

   • Teorema 1 stabilisce che l'insieme di tutte le possibili mappe in anello chiuso sotto politiche affini è caratterizzato da un vincolo di sottospazio affine che coinvolge le matrici del sistema e i nuovi parametri di risposta ($\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$).
   • Corollario 2 dimostra che il problema di ottimizzazione MPC standard (minimizzazione di un costo quadratico soggetto a vincoli affini) può essere equivalentemente riformulato come un'ottimizzazione sulle risposte di sistema. Ciò consente di risolvere il problema MPC direttamente nello spazio delle risposte di sistema piuttosto che nello spazio degli ingressi di controllo.

2. Setting Basato sui Dati:
   Estendendo l'approccio a scenari in cui le matrici di sistema $A, B, s$ sono sconosciute, gli autori sfruttano il Lemma Fondamentale di Willems adattato per sistemi affini.

   • Teorema 2 mostra che per sistemi affini invarianti nel tempo, le risposte del sistema in anello chiuso possono essere equivalentemente caratterizzate utilizzando matrici di Hankel costruite da una singola traiettoria persistente (PE) di dati passati di stato e ingresso.
   • Corollario 3 riformula completamente il problema MPC in termini di queste matrici di Hankel basate sui dati e variabili ausiliarie ($G, \hat{g}$), eliminando la necessità di una identificazione esplicita del sistema.

Contributi Chiave

• Generalizzazione dell'SLS: Il lavoro fornisce la prima estensione del framework SLS alle politiche affini, permettendo al framework di catturare i comportamenti affini intrinseci nei problemi MPC vincolati.
• Riformulazione MPC in Anello Chiuso: Stabilisce una formulazione equivalente per problemi MPC generali (con costi quadratici, modelli di predizione affini e vincoli politopici) utilizzando mappe in anello chiuso, sia in setting basati sul modello che in setting basati sui dati.
• SLS Affina Basata sui Dati: Il documento introduce una parametrizzazione data-driven per sistemi affini che si basa esclusivamente su dati di traiettoria passati, rimuovendo la necessità di conoscere esplicitamente il termine costante $s$ o le matrici di sistema.

Risultati
Gli autori validano il loro approccio attraverso esperimenti numerici su un modello di dinamica di oscillazione (swing dynamics) di un generatore di sistemi di potenza, che include un attrito di Coulomb costante (un termine affine). La simulazione confronta tre controllori:

1. MPC tradizionale basato sul modello.
2. SLS Affino Model-Based.
3. SLS Affino Data-Driven.

I risultati dimostrano che sia la formulazione SLS affina basata sul modello che quella basata sui dati raggiungono prestazioni pari al tradizionale MPC basato sul modello. Nello specifico, le traiettorie di stato e di ingresso generate da tutti e tre i metodi sono identiche, confermando che le proposte parametrizzazioni possono recuperare esattamente la soluzione MPC ottimale senza l'onere computazionale di risolvere il problema originale non convesso o ad alta dimensionalità nello spazio degli ingressi.

Significato e Rivendicazioni
Il documento afferma di essere il primo lavoro a estendere la Sintesi a Livello di Sistema alle politiche affini sia in setting basati sul modello che basati sui dati. Il suo significato primario risiede nel colmare il divario tra i vantaggi teorici dell'SLS (come il controllo distribuito e la robustezza) e la necessità pratica di gestire dinamiche affini e vincoli presenti nelle applicazioni MPC del mondo reale. Abilitando una formulazione equivalente di MPC utilizzando mappe in anello chiuso, l'approccio facilita la progettazione di controllori per sistemi in cui le politiche lineari sono insufficienti, mantenendo al contempo i benefici computazionali e strutturali del framework SLS. Gli autori osservano che, sebbene il presente lavoro si concentri sul controllo nominale, le estensioni a casi distribuiti con garanzie di stabilità sono lasciate a lavori futuri.