System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

기술 요약: 아핀 제어 정책을 위한 시스템 레벨 합성(System Level Synthesis)

문제 정의
복잡하고 비선형적인 동역학을 가진 시스템을 위한 전통적인 모델 예측 제어(MPC)는 종종 선형 근사 또는 전역적으로 특성화하기 어려운 피스와이즈 아핀(piecewise affine) 해법에 의존한다. 시스템 레벨 합성(SLS)은 폐루프 응답을 매개변수화함으로써 대규모 선형 시스템을 위한 제어기 설계에 강력한 프레임워크로 부상했으나, 기존의 SLS 방식은 선형 시스템과 시변 선형 제어 정책에 국한되어 있다. 이러한 한계는 특히 상수 항(constant offset)이 존재하는 아핀 시스템(affine systems) 및 제약 조건이 있는 시스템에서 발생하는 최적 MPC 솔루션의 본질적인 피스와이즈 아핀 특성을 포착하는 것을 방해한다. 또한, 데이터 기반 제어 방법론이 발전하고 있음에도 불구하고, 제약 조건이 있는 아핀 정책 하에서의 폐루프 정식화와 이를 통합하는 것은 여전히 미해결 과제로 남아 있다.

방법론
본 논문은 SLS 프레임워크를 시변 **아핀 제어 정책(affine control policies)**으로 확장하는 새로운 폐루프 매개변수화를 도입한다. 핵심 방법론은 두 가지 주요 설정으로 구성된다:

1. 모델 기반 설정 (Model-Based Setting):
   저자들은 이산 시간 시변 아핀 시스템 $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$ (여기서 $s$는 상수 항)를 정의한다. 저자들은 $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$ 형태의 아핀 제어 정책을 제안한다. 블록 대각 연산자와 블록 다운시프트(block-downshift) 연산자 $Z$를 활용하여, 저자들은 상태 및 입력 궤적($x, u$)이 외란 $w$와 상수 항(1로 표현됨)의 선형 사상(linear map)으로 표현되는 폐루프 매개변수화를 도출한다.

   • **정리 1(Theorem 1)**은 모든 가능한 폐루프 맵의 집합이 시스템 행렬과 새로운 응답 매개변수($\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$)를 포함하는 아핀 부분 공간 제약 조건에 의해 특성화됨을 확립한다.
   • **따름정리 2(Corollary 2)**는 표준 MPC 최적화 문제(아핀 제약 조건 하에서 이차 비용을 최소화하는 문제)가 이러한 폐루프 맵에 대한 최적화 문제로 동등하게 재정식화될 수 있음을 입증한다. 이를 통해 MPC 문제를 제어 입력 공간이 아닌 시스템 응답 공간에서 직접 해결할 수 있다.

2. 데이터 기반 설정 (Data-Driven Setting):
   시스템 행렬 $A, B, s$를 알 수 없는 시나리오로 접근을 확장하기 위해, 저자들은 아핀 시스템에 맞게 조정된 **빌렘스의 기본 정리(Willems' Fundamental Lemma)**를 활용한다.

   • **정리 2(Theorem 2)**는 시불변 아핀 시스템에 대해, 폐루프 시스템 응답이 과거의 상태 및 입력 데이터로부터 구성된 한켈 행렬(Hankel matrices)을 사용하여 동등하게 특성화될 수 있음을 보여준다.
   • **따름정리 3(Corollary 3)**은 MPC 문제를 이러한 데이터 기반 한켈 행렬과 보조 변수($G, \hat{g}$)의 관점에서 완전히 재정식화하며, 이를 통해 명시적인 시스템 식별 과정 없이도 문제를 해결할 수 있게 한다.

주요 기여

• SLS의 일반화: 본 연구는 SLS 프레임워크를 시변 아핀 정책으로 확장하여, 제약 조건이 있는 MPC 문제에 내재된 아핀 동작을 포착할 수 있도록 한 첫 번째 연구를 제공한다.
• 폐루프 MPC 재정식화: 모델 기반 및 데이터 기반 설정 모두에서 (이차 비용, 아핀 예측 모델, 다면체 제약 조건을 갖는) 일반적인 MPC 문제를 폐루프 맵을 사용하여 동등한 형식으로 정식화한다.
• 데이터 기반 아핀 SLS: 상수 항 $s$나 시스템 행렬에 대한 명시적인 지식 없이도 과거의 궤적 데이터만을 사용하는 아핀 시스템용 데이터 기반 매개변수화를 도입한다.

결과
저자들은 일정한 쿨롱 마찰(아핀 항)을 포함하는 전력 계통의 선형화된 스윙 역학(swing dynamics) 모델에 대한 수치 실험을 통해 접근 방식을 검증하였다. 시뮬레이션은 다음 세 가지 제어기를 비교한다:

1. 전통적인 모델 기반 MPC.
2. 모델 기반 아핀 SLS.
3. 데이터 기반 아핀 SLS.

실험 결과, 모델 기반 및 데이터 기반 아핀 SLS 정식화 모두 전통적인 모델 기반 MPC와 대등한 성능을 달 기록하였다. 구체적으로, 세 방법 모두에서 생성된 상태 및 입력 궤적은 동일하였으며, 이는 제안된 매개변수화가 원래의 비볼록(non-convex) 또는 고차원 입력 공간 문제를 푸는 계산적 부담 없이 최적의 MPC 솔루션을 정확히 복구할 수 있음을 확인시켜 준다.

의의 및 주장
본 논문은 모델 기반 및 데이터 기반 설정 모두에서 아핀 정책으로 System Level Synthesis를 확장한 첫 번째 연구라고 주장한다. 본 연구의 주요 의의는 SLS의 이론적 장점(분산 제어 및 강건성 등)과 실제 MPC 애플리케이션에서 발견되는 아핀 동역학 및 제약 조건을 처리해야 하는 실무적 필요성 사이의 간극을 메우는 데 있다. MPC를 폐루프 맵을 사용하여 동등한 형식으로 구현함으로써, 본 접근법은 선형 정책만으로는 불충분한 시스템에 대한 제어기 설계를 용이하게 하는 동시에, SLS 프레임워크가 가진 계산적 및 구조적 이점을 유지한다. 저자들은 현재 작업이 명목 제어(nominal control)에 집중하고 있으며, 안정성 보장이 포함된 분산 제어로의 확장은 향후 과제로 남겨두었다고 언급하였다.