System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

Resumo Técnico: Síntese de Nível de Sistema para Políticas de Controle Afins

Formulação do Problema
O Controle Preditivo Baseado em Modelo (MPC) tradicional para sistemas com dinâmicas complexas e não lineares frequentemente depende de aproximações lineares ou soluções afins por partes que são difíceis de caracterizar globalmente. Embora a Síntese de Nível de Sistema (SLS) tenha emergido como um poderoso arcabouço para o projeto de controladores para grandes sistemas lineares ao parametrizar respostas de malha fechada, as abordagens existentes de SLS são restritas a sistemas lineares e políticas de controle lineares variantes no tempo. Essa limitação impede que a SLS capture a natureza inerente de partes afins das soluções ótimas de MPC, particularmente para sistemas com termos constantes (sistemas afins) e restrições. Além disso, embora os métodos de controle baseados em dados tenham avançado, integrar-se com formulações de malha fechada para políticas afins sob restrições permanece um desafio em aberto.

Metodologia
O artigo introduz uma nova parametrização de malha fechada que estende o arcabouço SLS para acomodar políticas de controle afins variantes no tempo. A metodologia central envolve dois cenários principais:

1. Cenário Baseado em Modelo:
   Os autores definem um sistema afim discreto variante no tempo $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$, onde $s$ é um termo constante. Eles propõem uma política de controle afim da forma $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$. Ao utilizar operadores diagonais de bloco e o operador de deslocamento descendente em bloco $Z$, eles derivam uma parametrização de malha fechada onde as trajetórias de estado e entrada ($x, u$) são expressas como mapas lineares da perturbação $w$ e de um termo constante (representado por um escalar 1).

   • Teorema 1 estabelece que o conjunto de todos os possíveis mapas de malha fechada sob políticas afins é caracterizado por uma restrição de subespaço afim envolvendo as matrizes do sistema e os novos parâmetros de resposta ($\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$).
   • Corolário 2 demonstra que o problema de otimização padrão de MPC (minimizando um custo quadrático sujeito a restrições afins) pode ser equivalentemente reformulado como uma otimização sobre esses mapas de malha fechada. Isso permite que o problema de MPC seja resolvido diretamente no espaço das respostas do sistema, em vez de no espaço dos inputs de controle.

2. Cenário Baseado em Dados:
   Estendendo a abordagem para cenários onde as matrizes do sistema $A, B, s$ são desconhecidas, os autores utilizam o Lema Fundamental de Willems adaptado para sistemas afins.

   • Teorema 2 mostra que, para sistemas afins invariantes no tempo, as respostas de malha fechada do sistema podem ser caracterizadas equivalentemente usando matrizes de Hankel construídas a partir de uma única trajetória persistentemente excitante (PE) de dados passados de estado e entrada.
   • Corolário 3 reformula o problema de MPC inteiramente em termos dessas matrizes de Hankel baseadas em dados e variáveis auxiliares ($G, \hat{g}$), eliminando a necessidade de identificação explícita do sistema.

Principais Contribuições

• Generalização da SLS: O trabalho fornece a primeira extensão do arcabouço SLS para políticas afins variantes no tempo, permitindo que o arcabouço capture os comportamentos afins inerentes aos problemas de MPC com restrições.
• Reformulação de MPC de Malha Fechada: Estabelece uma formulação equivalente de problemas gerais de MPC (com custos quadráticos, modelos de predição afins e restrições politópicas) usando mapas de malha fechada, tanto em cenários baseados em modelo quanto baseados em dados.
• SLS Afim Baseado em Dados: O artigo introduz uma parametrização baseada em dados para sistemas afins que depende exclusivamente de dados de trajetórias passadas, removendo a necessidade de conhecimento explícito do termo constante $s$ ou das matrizes do sistema.

Resultados
Os autores validam sua abordagem através de experimentos numéricos em um modelo de dinâmica de oscilação (swing dynamics) de um gerador de sistema de potência, que inclui atrito de Coulomb constante (um termo afim). A simulação compara três controladores:

1. MPC Tradicional Baseado em Modelo.
2. SLS Afim Baseado em Modelo.
3. SLS Afim Baseado em Dados.

Os resultados demonstram que ambas as formulações de SLS afim (baseada em modelo e baseada em dados) alcançam um desempenho equivalente ao MPC tradicional baseado em modelo. Especificamente, as trajetórias de estado e entrada geradas pelos três métodos são idênticas, confirmando que as parametrizações propostas podem recuperar exatamente a solução ótima de MPC sem o fardo computacional de resolver o problema original não convexo ou de alta dimensão no espaço de entrada.

Significância e Alegações
O artigo afirma ser o primeiro trabalho a estender a Síntese de Nível de Sistema para políticas afins tanto em cenários baseados em modelo quanto baseados em dados. Sua principal significância reside em preencher a lacuna entre as vantagens teóricas da SLS (como controle distribuído e robustez) e a necessidade prática de lidar com dinâmicas afins e restrições encontradas em aplicações reais de MPC. Ao permitir uma formulação equivalente de MPC usando mapas de malha fechada, a abordagem facilita o projeto de controladores para sistemas onde políticas lineares são insuficientes, mantendo os benefícios estruturais e computacionais do arcabouço SLS. Os autores observam que, embora o presente trabalho foque no controle nominal, extensões para casos distribuídos com garantias de estabilidade são deixadas para trabalhos futuros.