System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

技术摘要：仿射控制策略的系统级综合

问题定义
针对具有复杂非线性动力学的系统，传统的模型预测控制（MPC）通常依赖于线性近似或分段仿射解，而这些解难以进行全局表征。虽然系统级综合（SLS）已成为一种强大的框架，用于通过参数化闭环响应来设计大规模线性系统的控制器，但现有的 SLS 方法局限于线性系统和时变线性控制策略。这一局限性使得 SLS 无法捕捉最优 MPC 解中固有的分段仿射特性，特别是对于具有常数偏移量（仿射系统）和约束的系统。此外，尽管数据驱动控制方法已取得进展，但在约束条件下将这些方法与仿射策略的闭环形式相结合仍是一个开放性挑战。

方法论
本文引入了一种全新的闭环参数化方法，将 SLS 框架扩展到能够容纳时变仿射控制策略。核心方法论包含两个主要场景：

1. 基于模型的场景：
   作者定义了一个离散时间变化的仿射系统 $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$，其中 $s$ 为常数项。他们提出了一种形式为 $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$ 的仿射控制策略。通过利用块对角算子和块下移算子 $Z$，他们推导出了一个闭环参数化方案，其中状态和输入轨迹（$x, u$）被表示为扰动 $w$ 和常数项（由标量 1 表示）的线性映射。

   • 定理 1 确立了所有可能的仿射策略下的闭环映射集，其特征在于涉及系统矩阵和新响应参数（$\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$）的仿射子空间约束。
   • 推论 2 证明了标准的 MPC 优化问题（最小化二次代价函数并受仿射约束限制）可以等价地重新表述为对这些闭环映射的优化。这使得 MPC 问题可以直接在系统响应空间而非控制输入空间中求解。

2. 数据驱动场景：
   针对系统矩阵 $A, B, s$ 未知的场景，作者利用了针对仿射系统改编的 Willems 基本引理。

   • 定理 2 表明，对于时不变仿射系统，闭环系统响应可以通过由过去状态和输入数据的单个持续激励（PE）轨迹构建的 Hankel 矩阵来等效表征。
   • 推论 3 将 MPC 问题完全重新表述为由这些数据驱动的 Hankel 矩阵和辅助变量（$G, \hat{g}$）组成的项，从而消除了对显式系统辨识的需求。

核心贡献

• SLS 的泛化： 本研究首次将 SLS 框架扩展到时变仿射策略，使该框架能够捕捉约束 MPC 问题中固有的仿射行为。
• 闭环 MPC 重构： 它建立了通用 MPC 问题（具有二次代价、仿射预测模型和多面体约束）的等效表述，涵盖了基于模型和数据驱动两种设置。
• 数据驱动仿射 SLS： 本文引入了一种仅依赖于过去轨迹数据的仿射系统数据驱动参数化方法，无需显式了解常数项 $s$ 或系统矩阵。

结果
作者通过对电力系统发电机线性化摆动动力学模型（包含常数库伦摩擦项，即一个仿射项）的数值实验验证了其方法。模拟对比了三种控制器：

1. 传统基于模型的 MPC。
2. 基于模型的仿射 SLS。
3. 数据驱动的仿射 SLS。

结果表明，基于模型和数据驱动的仿射 SLS 方案均达到了与传统基于模型的 MPC 相当的性能。具体而言，三种方法生成的系统状态和输入轨迹是完全一致的，这证实了所提出的参数化方案可以在不承担原始非凸或高维输入空间问题计算负担的情况下，精确恢复最优 MPC 解。

意义与主张
本文声称是首个将系统级综合扩展到模型驱动和数据驱动环境下仿射策略的工作。其主要意义在于弥合了 SLS 的理论优势（如分布式控制和鲁棒性）与处理现实世界 MPC 应用中常见的仿射动力学及约束的实际必要性之间的鸿沟。通过实现使用闭环映射的 MPC 等效表述，该方法促进了针对那些线性策略不足以应对的系统的控制器设计，同时保留了 SLS 框架的计算和结构优势。作者指出，虽然目前的工作侧重于标称控制，但具有稳定性保证的分布式扩展工作仍有待未来研究。