System Level Synthesis for Affine Control Policies: Model Based and Data-Driven Settings

Résumé Technique : Synthèse au Niveau Système pour les Politiques de Contrôle Affines

Formulation du Problème
Le contrôle prédictif basé sur un modèle (MPC) traditionnel pour les systèmes aux dynamiques complexes et non linéaires repose souvent sur des approximations linéaires ou des solutions affines par morceaux qui sont difficiles à caractériser globalement. Bien que la synthèse au niveau système (SLS) soit apparue comme un cadre puissant pour la conception de contrôleurs pour les grands systèmes linéaires en paramétrant les réponses en boucle fermée, les approches SLS existantes sont limitées aux systèmes linéaires et aux politiques de contrôle linéaires variant dans le temps. Cette limitation empêche la SLS de capturer la nature affine par morceaux inhérente aux solutions optimales du MPC, particulièrement pour les systèmes avec des décalages constants (systèmes affines) et des contraintes. De plus, bien que les méthodes de contrôle pilotées par les données aient progressé, l'intégration de ces dernières avec des formulations en boucle fermée pour des politiques affines sous contraintes reste un défi ouvert.

Méthodologie
L'article introduit une nouvelle paramétrisation en boucle fermée qui étend le cadre de la SLS pour accommoder des politiques de contrôle affines variant dans le temps. La méthodologie de base comprend deux configurations principales :

1. Configuration Basée sur le Modèle :
   Les auteurs définissent un système affine discret variant $x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + s + w(t)$, où $s$ est un terme constant. Ils proposent une politique de contrôle affine de la forme $u_t = \sum_{\tau=0}^t K_{t,\tau}x_\tau + u^s_t$. En utilisant des opérateurs diagonaux par blocs et l'opérateur de décalage vers le bas par blocs $Z$, ils dérivent une paramétrisation en boucle fermée où les trajectoires d'état et d'entrée ($x, u$) sont exprimées comme des applications linéaires de la perturbation $w$ et d'un terme constant (représenté par un scalaire 1).

   • Le Théorème 1 établit que l'ensemble de toutes les applications en boucle fermée possibles sous des politiques affines est caractérisé par une contrainte d'espace affine impliquant les matrices du système et les nouveaux paramètres de réponse ($\Phi_x, \phi_x, \Phi_u, \phi_u$).
   • Le Corollaire 2 démontre que le problème d'optimisation MPC standard (minimisant un coût quadratique sujet à des contraintes affines) peut être reformulé de manière équivalente comme une optimisation sur ces applications en boucle fermée. Cela permet de résoudre le problème MPC directement dans l'espace des réponses du système plutôt que dans celui des entrées de commande.

2. Configuration Pilotée par les Données :
   Pour étendre l'approche aux scénarios où les matrices du système $A, B, s$ sont inconnues, les auteurs exploitent le Lemme Fondamental de Willems adapté pour les systèmes affines.

   • Le Théorème 2 montre que pour les systèmes affines invariants dans le temps, les réponses du système en boucle fermée peuvent être caractérisées de manière équivalente à l'aide de matrices de Hankel construites à partir d'une seule trajectoire persistant d'excitation (PE) de données passées d'état et d'entrée.
   • Le Corollaire 3 reformule entièrement le problème MPC en termes de ces matrices de Hankel pilotées par les données et de variables auxiliaires ($G, \hat{g}$), éliminant ainsi le besoin d'une identification explicite du système.

Contributions Clés

• Généralisation de la SLS : Ce travail constitue la première extension du cadre SLS aux politiques affines, permettant au cadre de capturer les comportements affines inhérents aux problèmes de MPC contraints.
• Reformulation du MPC en Boucle Fermée : Il établit une formulation équivalente des problèmes de MPC généraux (avec des coûts quadratiques, des modèles de prédiction affines et des contraintes polytopiques) en utilisant des applications en boucle fermée, tant dans les configurations basées sur le modèle que pilotées par les données.
• SLS Affine Pilotée par les Données : L'article introduit une paramétrisation pilotée par les données pour les systèmes affines qui repose uniquement sur des données de trajectoire passées, supprimant l'exigence d'une connaissance explicite du terme constant $s$ ou des matrices du système.

Résultats
Les auteurs valident leur approche par des expériences numériques sur un modèle de dynamique de balancier linéarisé d'un générateur de système électrique, qui inclut un frottement de Coulomb constant (un terme affine). La simulation compare trois contrôleurs :

1. MPC traditionnel basé sur le modèle.
   2. SLS affine basée sur le modèle.
   3. SLS affine pilotée par les données.

Les résultats démontrent que les deux formulations de la SLS affine, tant basée sur le modèle que pilotée par les données, atteignent des performances égales au MPC traditionnel basé sur le modèle. Plus précisément, les trajectoires d'état et d'entrée générées par les trois méthodes sont identiques, confirmant que les paramétrisations proposées peuvent retrouver exactement la solution optimale du MPC sans la charge computationnelle liée à la résolution du problème original non convexe ou de haute dimension dans l'espace des entrées.

Signification et Revendications
L'article affirme être le premier travail à étendre la Synthèse au Niveau Système aux politiques affines, tant dans les contextes basés sur le modèle que pilotés par les données. Sa principale signification réside dans le pont jeté entre les avantages théoriques de la SLS (tels que le contrôle distribué et la robustesse) et la nécessité pratique de gérer les dynamiques affines et les contraintes présentes dans les applications réelles de MPC. En permettant une formulation équivalente du MPC à l'aide d'applications en boucle fermée, l'approche facilite la conception de contrôleurs pour des systèmes où les politiques linéaires sont insuffisantes, tout en maintenant les avantages computationnels et structurels du cadre SLS. Les auteurs notent que bien que le présent travail se concentre sur le contrôle nominal, les extensions vers des cas distribués avec des garanties de stabilité sont laissées pour des travaux futurs.