Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

Resumen Técnico: Backstepping de Seguridad de Entrada a Estado (Input-to-State Safe Backstepping)

Planteamiento del Problema
Garantizar la seguridad en sistemas de control no lineales que operan bajo perturbaciones no coincidentes (unmatched) sigue siendo un desafío significativo. Las incertidumbres no coincidentes son aquellas que no pueden ser canceladas directamente por la entrada de control porque entran en la dinámica del sistema a través de canales distintos de la autoridad de control. Aunque las Funciones de Barrera de Control (CBF) han demostrado ser efectivas para el control crítico de seguridad en entornos nominales, y se han desarrollado CBF de Entrada a Estado Seguro (ISSf) para manejar perturbaciones coincidentes (matched), la construcción de ISSf-CBF para sistemas con incertidumbres no coincidentes es difícil. Las condiciones de verificación tradicionales para las ISSf-CBF se vuelven excesivamente estrictas cuando la autoridad de control desaparece en la frontera de seguridad, fallando a menudo para sistemas donde las perturbaciones entran a través de dinámicas distintas a la de la entrada de control.

Metodología
El artículo propone un marco constructivo que une la teoría de Seguridad de Entrada a Estado (ISSf) con el backstepping de CBF para abordar las incertidumbres no coincidentes. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Generalización de ISSf mediante CBF de Decaimiento Óptimo (OD-CBFs):
   Los autores primero generalizan el marco ISSf introduciendo la noción de una ISSf-CBF de Decaimiento Óptimo (OD-ISSf-CBF). Este enfoque relaja las condiciones de verificación estándar de dos maneras:

• Variable de Decaimiento Óptimo: Introduce un factor de escala $\omega$ (acotado inferiormente por $\theta_d$) sobre la función de clase-$\mathcal{K}$ $\alpha$. Esto actúa como una variable de decisión adicional, proporcionando flexibilidad para satisfacer las condiciones de barrera.
• Modelo de Perturbación Generalizado: En lugar de asumir que las perturbaciones entran a través del canal de control (coincidente), el marco utiliza una matriz de entrada de perturbación $w(x)$. La condición de robustez se verifica solo a lo largo de la proyección de la perturbación sobre el gradiente de la función de barrera ($L_{wh}$), en lugar del gradiente completo.
• Relajación de la Verificación: Un resultado teórico clave (Lema 3) muestra que para las OD-ISSf-CBF, la condición solo necesita ser verificada en la frontera y el exterior del conjunto seguro ($h(x) \leq 0$). Si la autoridad de control es no nula fuera del conjunto seguro, la condición se satisface automáticamente.

2. Síntesis de Backstepping para Incertidumbres No Coincidentes:
   Para manejar sistemas donde la función de seguridad $h$ no tiene autoridad de control directa, el artículo emplea un procedimiento de backstepping para construir ISSf-CBFs para dos clases específicas de sistemas:

• Sistemas de Retroalimentación Estricta (Strict-Feedback Systems): Para sistemas en forma de retroalimentación estricta, el método trata los estados de orden superior como entradas de control "virtuales". Primero se diseña un controlador suave para el subsistema de la capa superior para satisfacer la condición de OD-ISSf-CBF. Luego, se construye una función de barrera compuesta penalizando la desviación del estado real respecto a este controlador virtual. El Teorema 2 establece que si la matriz de ganancia de control de la siguiente capa tiene rango completo de filas, la función compuesta es una OD-ISSf-CBF válida para el sistema completo.
• Sistemas de Doble Grado Relativo (DRD): Para sistemas que se asemejan a sistemas de planitud diferencial (por ejemplo, cuadricópteros) donde la dinámica de la capa superior depende del estado de la capa inferior mediante una función $\psi(\eta)$, el método considera el producto $\psi(\eta)u_z$ como una entrada virtual. Se diseña un controlador virtual para la capa superior, y se construye un estado deseado de la capa inferior $\eta_d$ para alinear las direcciones de control con esta entrada virtual. Se demuestra que una función de barrera compuesta que combina la seguridad de la capa superior y la desviación de $\eta$ respecto a $\eta_d$ es una OD-ISSf-CBF (Teorema 3), siempre que se cumplan condiciones de rango específicas en las matrices del sistema.

3. Implementación del Controlador:
   El marco genera un controlador de retroalimentación derivado de un Programa Cuadrático (QP). Este QP optimiza conjuntamente la entrada de control $u$ y el factor de escala $\omega$ para minimizar la desviación de un controlador nominal mientras se satisface la condición relajada de OD-ISSf-CBF. El controlador resultante es localmente Lipschitz continuo y garantiza la invariancia hacia adelante de un conjunto seguro inflado $S_\delta$, donde el tamaño de la inflación depende de la magnitud de la perturbación y de los parámetros elegidos $\varepsilon$ y $\theta_d$.

Contribuciones Clave
El artículo reclama las siguientes contribuciones primarias:

• Generalización de ISSf: Un nuevo marco que utiliza OD-CBFs y un modelo de entrada de perturbación generalizado que ofrece una mayor flexibilidad para compensar perturbaciones, particularmente al relajar la verificación hacia la frontera/exterior del conjunto seguro.
• Procedimiento de Backstepping Constructivo: Un método sistemático para la síntesis de ISSf-CBFs para sistemas con perturbaciones no coincidentes. Esto incluye tratamientos técnicos completos para sistemas de retroalimentación estricta y sistemas de doble grado relativo, extendiendo la aplicabilidad del backstepping desde la estabilización hacia el control crítico de seguridad.
• Garantías de Seguridad Robusta: Pruebas teóricas que demuestran que los controladores sintetizados aseguran que el sistema permanezca dentro de un vecindario acotado del conjunto seguro (ISSf), incluso en presencia de incertidumbres no coincidentes, con la capacidad de mantener la seguridad estricta si los límites de la perturbación son suficientemente pequeños.

Resultados y Simulaciones
Los resultados teóricos se validan mediante simulaciones numéricas en dos sistemas de referencia:

• Péndulo Invertido: Un sistema de retroalimentación estricta sujeto a perturbaciones no coincidentes. Las simulaciones demuestran que el controlador propuesto mantiene con éxito el péndulo dentro de un rango angular seguro. Los resultados ilustran el compromiso controlado por el parámetro $\varepsilon$: valores más pequeños de $\varepsilon$ proporcionan mayor robustez, manteniendo la trayectoria dentro del conjunto seguro, mientras que valores más grandes permiten que la trayectoria salga del conjunto pero permanezca dentro de un vecindario acotado, consistente con la teoría ISSf.
• Cuadricóptero Plano: Un sistema de doble grado relativo sujeto a ráfagas de viento (perturbaciones no coincidentes). La simulación muestra que el dron navega con éxito hacia una restricción de pared. A medida que el dron se acerca a la frontera de seguridad, el controlador ajusta la orientación ($\eta$) para alinear el vector de empuje contra la perturbación, contrarrestando efectivamente la incertidumbre no coincidente. Los resultados confirman que la selección apropiada de $\varepsilon$ asegura la seguridad, mientras que valores más grandes conducen a violaciones de seguridad.

Significado
Este trabajo posiciona su investigación como una solución constructiva a una brecha persistente en el control crítico de seguridad: la síntesis de CBF para sistemas con incertidumbres no coincidentes. Al aprovechar las propiedades estructurales de los sistemas de retroalimentación estricta y DRD mediante backstepping, los autores permiten la construcción sistemática de filtros de seguridad robustos para clases de sistemas no lineales de relevancia práctica. El trabajo cierra la brecha entre la robustez teórica de ISSf y los desafíos de síntesis práctica planteados por las dinámicas no coincidentes, ofreciendo una vía para desplegar controladores críticos de seguridad en plataformas robóticas complejas como cuadricópteros y manipuladores que operan en entornos inciertos.