Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

기술 요약: 입력-상태 안전 백스테핑 (Input-to-State Safe Backstepping)

문제 정의
미매치 불확실성(unmatched disturbances) 하에서 작동하는 비선형 제어 시스템의 안전성을 보장하는 것은 여전히 중요한 과제이다. 미매치 불확실성이란 제어 입력에 의해 직접적으로 상쇄될 수 없는 불확실성을 의미하며, 이는 제어 권한과는 구별되는 채널을 통해 시스템 동역학에 유입된다. 제어 장벽 함수(Control Barrier Functions, CBFs)는 명목 설정(nominal settings)에서 안전 중심 제어를 위해 효과적임이 입증되었고, 매치된 불확실성을 처리하기 위한 입력-상태 안전(Input-to-State Safe, ISSf) CBF도 개발되었으나, 미매치 불확실성을 가진 시스템을 위한 ISSf-CBF를 구축하는 것은 어렵다. 전통적인 ISSf-CBF 검증 조건은 제어 권한이 안전 경계에서 소멸할 때 지나치게 엄격해지며, 불확실성이 제어 입력과 다른 동역학을 통해 유입되는 시스템에 대해서는 조건을 충족하지 못하는 경우가 많다.

방법론
본 논문은 미매치 불확실성을 해결하기 위해 ISSf 이론과 CBF 백스테핑을 결합하는 구성적 프레임워크를 제안한다. 방법론은 다음과 같은 세 가지 주요 단계로 진행된다:

1. 최적 감쇠 CBF(Optimal Decay CBFs, OD-CBFs)를 통한 ISSf의 일반화:
   저자들은 먼저 최적 감쇠 ISSf-CBF(OD-ISSf-CBF) 개념을 도입하여 ISSf 프레임워크를 일반화한다. 이 접근 방식은 두 가지 방식으로 표준 검증 조건을 완화한다:

• 최적 감쇠 변수: 클래스-$\mathcal{K}$ 함수 $\alpha$에 대해 $\theta_d$보다 낮은 하한을 갖는 스케일링 인자 $\omega$를 도입한다. 이는 추가적인 결정 변수로서 작용하여 장벽 조건을 만족시키는 데 유연성을 제공한다.
• 일반화된 불확실성 모델: 불확실성이 제어 채널을 통해 유입된다고 가정하는 대신(매치된 경우), 프레임워크는 불확실성 입력 행렬 $w(x)$를 활용한다. 강건성 조건은 전체 기울기가 아닌, 장벽 함수의 기울기에 대한 불확실성의 투영($L_{wh}$)을 따라 검증된다.
• 검증 완화: OD-ISSf-CBF에 대한 핵심적인 이론적 결과(Lemma 3)는, 조건이 전체 도메인이 아니라 안전 집합의 경계 및 외부($h(x) \leq 0$)에서만 검증되어야 함을 보여준다. 제어 권한이 안전 집합 외부에서 0이 아니라면, 해당 조건은 자동으로 만족된다.

2. 미매치 불확실성을 위한 백스테핑 합성:
   안전 함수 $h$가 직접적인 제어 권한을 갖지 않는 시스템을 다루기 위해, 본 논문은 두 가지 특정 시스템 클래스에 대해 ISSf-CBF를 구축하는 백스테핑 절차를 채택한다:

• 엄격 피드백 시스템(Strict-Feedback Systems): 엄격 피드백 형태의 시스템에 대해, 이 방법은 고차 상태를 "가상" 제어 입력으로 취급한다. 먼저 상위 레이어 하위 시스템에 대해 OD-ISSf-CBF 조건을 만족하도록 매끄러운 제어기를 설계한다. 그 후, 실제 상태와 이 가상 제어기의 편차를 페널티화함으로써 합성 장벽 함수를 구축한다. 정리 2는 다음 레이어의 제어 이득 행렬이 풀 로우 랭크(full row rank)인 경우, 합성 함수가 전체 시스템에 대한 유효한 OD-ISSf-CBF임을 입증한다.
• 이중 상대 차수(Dual-Relative-Degree, DRD) 시스템: 상위 레이어 동역학이 함수 $\psi(\eta)$를 통해 하위 레이어 상태에 의존하는 시스템(예: 쿼드로터)의 경우, 이 방법은 곱 $\psi(\eta)u_z$를 가상 입력으로 간주한다. 상위 레이어를 위한 가상 제어기가 설계되며, 제어 방향을 이 가상 입력과 정렬시키기 위해 원하는 하위 레이어 상태 $\eta_d$가 구축된다. 상위 레이어의 안전성과 $\eta$의 $\eta_d$로부터의 편차를 결합한 합성 장벽 함수는, 시스템 행렬에 대한 특정 랭크 조건이 충족되는 경우 OD-ISSf-CBF임이 정리 3을 통해 입증된다.

3. 제어기 구현:
   프레임워크는 이차 계획법(Quadratic Program, QP)으로부터 유도된 피드백 제어기를 생성한다. 이 QP는 완화된 OD-ISSf-CBF 조건을 만족하면서 명목 제어기와의 편차를 최소화하도록 제어 입력 $u$와 스케일링 인자 $\omega$를 공동으로 최적화한다. 결과물인 제어기는 국소 리프시츠 연속(locally Lipschitz continuous)이며, 팽창된 안전 집합 $S_\delta$의 전방 불변성(forward invariance)을 보장한다. 이때 팽창 크기는 불확실성 크기와 선택된 파라미터 $\varepsilon$ 및 $\theta_d$에 따라 결정된다.

주요 기여
본 논문은 다음과 같은 주요 기여를 주장한다:

• ISSf의 일반화: OD-CBF와 일반화된 불확실성 입력 모델을 활용하여, 특히 검증을 경계/외부로 완화함으로써 불확실성을 보상하는 데 더 큰 유연성을 제공하는 새로운 프레임워크를 제시한다.
• 구성적 백스테핑 절차: 미매치 불확실성을 가진 시스템을 위한 ISSf-CBF를 합성하는 체계적인 방법을 제공한다. 여기에는 엄격 피드백 시스템과 DRD 시스템에 대한 완전한 기술적 처리가 포함되며, 백스테핑의 적용 범위를 안정화에서 안전 중심 제어로 확장한다.
• 강건한 안전 보장: 합성된 제어기가 미매치 불확실성이 존재하는 상황에서도 시스템이 안전 집합의 유계된 근방 내에 머물도록 보장함을 입증하는 이론적 증명을 제공하며, 불확실성 범위가 충분히 작을 경우 엄격한 안전을 유지할 수 있음을 보여준다.

결과 및 시뮬레이션
이론적 결과는 두 가지 벤치마크 시스템에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 검증된다:

• 역진자(Inverted Pendulum): 미매치 불확실성에 노출된 엄격 피드백 시스템이다. 시뮬레이션은 제안된 제어기가 진자를 안전한 각도 범위 내에 성공적으로 유지함을 보여준다. 결과는 파라미터 $\varepsilon$에 의해 제어되는 트레이드오프를 보여준다: $\varepsilon$ 값이 작을수록 더 높은 강건성을 제공하여 궤적을 안전 집합 내에 유지하는 반면, 값이 클수록 궤적이 집합을 벗어나더라도 유계된 근방 내에 머물게 되는데, 이는 ISSf 이론과 일치한다.
• 평면 쿼드로터(Planar Quadrotor): 바람의 돌풍(미매치 불확실성)에 노출된 DRD 시스템이다. 시뮬레이션은 드론이 벽 제약 조건에 성공적으로 접근하는 모습을 보여준다. 드론이 안전 경계에 접근함에 따라, 제어기는 추력 벡터를 불확실성에 대항하도록 정렬하기 위해 방향($\eta$)을 조정한다. 결과는 적절한 $\varepsilon$ 선택이 안전을 보장하는 반면, 더 큰 값은 안전 위반을 초과하게 함을 확인시켜 준다.

의의
본 논문은 미매치 불확실성을 가진 시스템을 위한 CBF 합성이라는 지속적인 공백에 대한 구성적 해결책을 제시한다. 백스테핑을 통해 엄격 피드백 및 DRD 시스템의 구조적 특성을 활용함으로써, 저자들은 미매치 동역학을 가진 실질적인 비선형 시스템에 대해 강건한 안전 필터를 체계적으로 구축할 수 있게 하였다. 이 연구는 ISSf의 이론적 강건성과 미매치 동역학이 제기하는 실제적인 합성 과제 사이의 간극을 메우며, 불확실한 환경에서 작동하는 쿼드로터나 매니퓰레이터와 같은 복잡한 로봇 플랫폼에 안전 중심 제어기를 배포할 수 있는 경로를 제공한다.