Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

Resumo Técnico: Backstepping Seguro de Entrada-para-Estado (Input-to-State)

Definição do Problema
Garantir a segurança em sistemas de controle não lineares operando sob incertezas não combinadas (unmatched) permanece um desafio significativo. Incertezas não combinadas são aquelas que não podem ser diretamente canceladas pelo sinal de controle, pois entram na dinâmica do sistema através de canais distintos da autoridade de controle. Embora as Funções de Barreira de Controle (CBFs) tenham se mostrado eficazes para o controle crítico de segurança em configurações nominais, e as CBFs de Entrada-para-Estado Seguro (ISSf) tenham sido desenvolvidas para lidar com perturbações combinadas (matched), a construção de ISSf-CBFs para sistemas com incertezas não combinadas é difícil. As condições de verificação tradicionais para ISSf-CBFs tornam-se excessivamente rigorosas quando a autoridade de controle desaparece na fronteira de segurança, falhando frequentemente para sistemas onde as perturbações entram através de dinâmicas diferentes da entrada de controle.

Metodologia
O artigo propõe uma estrutura construtiva que une a teoria de Segurança de Entrada-para-Estado (ISSf) com o backstepping de CBF para abordar incertezas não combinadas. A metodologia procede em três estágios principais:

1. Generalização de ISSf via CBFs de Decaimento Ótimo (OD-CBFs):
   Os autores primeiro generalizam a estrutura ISSf introduzindo a noção de uma Função de Barreira de Controle de Decaimento Ótimo (OD-ISSf-CBF). Esta abordagem relaxa as condições de verificação padrão de duas maneiras:

   • Variável de Decaimento Ótimo: Introduz um fator de escala $\omega$ (limitado inferiormente por $\theta_d$) na função de classe-$\mathcal{K}$ $\alpha$. Isso atua como uma variável de decisão adicional, proporcionando flexibilidade na satisfação das condições de barreira.
   • Modelo de Perturbação Generalizado: Em vez de assumir que as perturbações entram pelo canal de controle (combinadas), a estrutura utiliza uma matriz de entrada de perturbação $w(x)$. A condição de robustez é verificada apenas ao longo da projeção da perturbação sobre o gradiente da função de barreira ($L_{wh}$), em vez do gradiente completo.
   • Relaxamento de Verificação: Um resultado teórico fundamental (Lema 3) mostra que, para OD-ISSf-CBFs, a condição precisa ser verificada apenas na fronteira e no exterior do conjunto seguro ($h(x) \leq 0$), em vez de em todo o domínio. Se a autoridade de controle for não nula fora do conjunto seguro, a condição é automaticamente satisfeita.

2. Síntese de Backstepping para Incertezas Não Combinadas:
   Para lidar com sistemas onde a função de segurança $h$ não possui autoridade de controle direta, o artigo emprega um procedimento de backstepping para construir ISSf-CBFs para duas classes específicas de sistemas:

   • Sistemas de Feedback Estrito (Strict-Feedback Systems): Para sistemas em forma de feedback estrito, o método trata estados de ordem superior como entradas de controle "virtuais". Um controlador suave é primeiro projetado para o subsistema de camada superior para satisfazer a condição de OD-ISSf-CBF. Uma função de barreira composta é então construída penalizando o desvio do estado real em relação a este controlador virtual. O Teorema 2 estabelece que, se a matriz de ganho de controle da próxima camada tiver posto de linha total, a função composta é uma OD-ISSf-CBF válida para o sistema completo.
   • Sistemas de Grau Relativo Duplo (DRD): Para sistemas que se assemelham a sistemas diferencialmente planos (ex: quadrotors), onde a dinâmica da camada superior depende do estado da camada inferior via uma função $\psi(\eta)$, o método visualiza o produto $\psi(\eta)u_z$ como uma entrada virtual. Um controlador virtual é projetado para a camada superior, e um estado desejado da camada inferior $\eta_d$ é construído para alinhar as direções de controle com esta entrada virtual. Uma função de barreira composta, combinando a segurança da camada superior e o desvio de $\eta$ em relação a $\eta_d$, é mostrada como uma OD-ISSf-CBF (Teorema 3), desde que condições de posto específicas nas matrizes do sistema sejam atendidas.

3. Implementação do Controlador:
   A estrutura resulta em um controlador de feedback derivado de um Programa Quadrático (QP). Este QP otimiza conjuntamente a entrada de controle $u$ e o fator de escala $\omega$ para minimizar o desvio de um controlador nominal enquanto satisfaz a condição relaxada de OD-ISSf-CBF. O controlador resultante é localmente Lipschitz contínuo e garante a invariância para frente de um conjunto seguro inflado $S_\delta$, onde o tamanho da inflação depende da magnitude da perturbação e dos parâmetros escolhidos $\varepsilon$ e $\theta_d$.

Principais Contribuições
O artigo reivindica as seguintes contribuições primárias:

• Generalização de ISSf: Uma nova estrutura utilizando OD-CBFs e um modelo de entrada de perturbação generalizado que oferece maior flexibilidade na compensação de perturbações, particularmente ao relaxar a verificação para a fronteira/exterior do conjunto seguro.
• Procedimento de Backstepping Construtivo: Um método sistemático para sintetizar ISSf-CBFs para sistemas com incertezas não combinadas. Isso inclui tratamentos técnicos completos para sistemas de feedback estrito e sistemas de grau relativo duplo, estendendo a aplicabilidade do backstepping da estabilização para o controle crítico de segurança.
• Garantias de Segurança Robusta: Provas teóricas demonstrando que os controladores sintetizados garantem que o sistema permaneça dentro de uma vizinhança limitada do conjunto seguro (ISSf), mesmo na presença de incertezas não combinadas, com a capacidade de manter a segurança estrita se os limites de perturbação forem suficientemente pequenos.

Resultados e Simulações
Os resultados teóricos são validados através de simulações numéricas em dois sistemas de referência:

• Pêndulo Invertido: Um sistema de feedback estrito sujeito a perturbações não combinadas. As simulações demonstram que o controlador proposto consegue manter o pêndulo dentro de uma faixa angular segura. Os resultados ilustram o compromisso controlado pelo parâmetro $\varepsilon$: valores menores de $\varepsilon$ proporcionam maior robustez, mantendo a trajetória dentro do conjunto seguro, enquanto valores maiores permitem que a trajetória saia do conjunto, mas permaneça dentro de uma vizinhança limitada, consistente com a teoria ISSf.
• Quadrotor Planar: Um sistema de grau relativo duplo sujeito a rajadas de vento (perturbações não combinadas). A simulação mostra o drone navegando com sucesso em direção a uma restrição de parede. À medida que o drone se aproxima da fronteira de segurança, o controlador ajusta a orientação ($\eta$) para alinhar o vetor de empuxo contra a perturbação, efetivamente neutralizando a incerteza não combinada. Os resultados confirmam que a seleção apropriada de $\varepsilon$ garante a segurança, ao passo que valores maiores levam a violações de segurança.

Significância
O artigo posiciona este trabalho como uma solução construtiva para uma lacuna persistente no controle crítico de segurança: a síntese de CBFs para sistemas com incertezas não combinadas. Ao alavancar as propriedades estruturais de sistemas de feedback estrito e DRD através de backstepping, os autores permitem a construção sistemática de filtros de segurança robustos para classes de sistemas não lineares praticamente relevantes. O trabalho preenche a lacuna entre a robustez teórica de ISSf e os desafios de síntese prática impostos pelas dinâmicas não combinadas, oferecendo um caminho para implantar controladores críticos de segurança em plataformas robóticas complexas, como quadrotors e manipuladores, operando em ambientes incertos.