Input-to-State Safe Backstepping: Robust Safety-Critical Control with Unmatched Uncertainties

Sintesi Tecnica: Backstepping per la Sicurezza Input-to-State (Input-to-State Safe Backstepping)

Enunciato del Problema
Garantire la sicurezza nei sistemi di controllo non lineari operanti sotto disturbi non accoppiati (unmatched) rimane una sfida significativa. Le incertezze non accoppiate sono quelle che non possono essere direttamente cancellate dall'ingresso di controllo perché entrano nelle dinamiche del sistema attraverso canali distinti dall'autorità di controllo. Sebbene le Funzioni di Barriera di Controllo (CBF) si siano dimostrate efficaci per il controllo critico per la sicurezza in contesti nominali, e siano state sviluppate CBF Input-to-State Safe (ISSf) per gestire disturbi accoppiati (matched), la costruzione di ISSf-CBF per sistemi con incertezze non accoppiate è difficile. Le tradizionali condizioni di verifica per le ISSf-CBF diventano eccessivamente stringenti quando l'autorità di controllo svanisce al confine del set di sicurezza, fallendo spesso per sistemi in cui i disturbi entrano attraverso dinamiche diverse rispetto all'ingresso di controllo.

Metodologia
Il documento propone un framework costruttivo che unisce la teoria della sicurezza Input-to-State (ISS) con il backstepping delle CBF per affrontare le incertezze non accoppiate. La metodologia procede in tre fasi principali:

1. Generalizzazione della ISSf tramite Optimal Decay CBFs (OD-CBFs):
   I ricercatori generalizzano innanzitutto il framework ISSf introducendo la nozione di Optimal Decay ISSf-CBF (OD-ISSf-CBF). Questo approccio ammorbidisce le standard condizioni di verifica in due modi:

• Variabile di Decadimento Ottimale: Introduce un fattore di scala $\omega$ (limitato inferiormente da $\theta_d$) sulla funzione di classe-$\mathcal{K}$ $\alpha$. Questo funge da variabile decisionale aggiuntiva, fornendo flessibilità nel soddisfare le condizioni di barriera.
• Modello di Disturbo Generalizzato: Invece di assumere che i disturbi entrino attraverso il canale di controllo (accoppiati), il framework utilizza una matrice di ingresso del disturbo $w(x)$. La condizione di robustezza è verificata solo lungo la proiezione del disturbo sul gradiente della funzione di barriera ($L_{wh}$), piuttosto che sull'intero gradiente.
• Rilassamento della Verifica: Un risultato teorico chiave (Lemma 3) mostra che, per le OD-ISSf-CBF, la condizione deve essere verificata solo sul confine e nell'esterno del set sicuro ($h(x) \leq 0$), anziché in tutto il dominio. Se l'autorità di controllo è non nulla all'esterno del set sicuro, la condizione è automaticamente soddisfatta.

2. Sintesi Backstepping per Incertezze Non Accoppiate:
   Per gestire sistemi in cui la funzione di sicurezza $h$ non ha un'autorità di controllo diretta, il documento impiega una procedura di backstepping per costruire ISSf-CBF per due classi specifiche di sistemi:

• Sistemi a Feedback Stretto (Strict-Feedback Systems): Per i sistemi in forma di feedback stretto, il metodo tratta gli stati di ordine superiore come ingressi di controllo "virtuali". Viene prima progettato un controllore smooth per il sottosistema di livello superiore per soddisfare la condizione OD-ISSf-CBF. Una funzione di barriera composita viene poi costruita penalizzando la deviazione dello stato reale dal controllore virtuale. Il Teorema 2 stabilisce che se la matrice di guadagno di controllo del livello successivo ha rango pieno per righe, la funzione composita è una valida OD-ISSf-CBF per l'intero sistema.
• Sistemi a Doppio Grado Relativo (DRD): Per sistemi simili a sistemi differenzialmente piatti (es. quadrotor) dove la dinamica del livello superiore dipende dallo stato del livello inferiore tramite una funzione $\psi(\eta)$, il metodo considera il prodotto $\psi(\eta)u_z$ come un ingresso virtuale. Un controllore virtuale viene progettato per il livello superiore, e uno stato desiderato del livello inferiore $\eta_d$ viene costruito per allineare le direzioni di controllo con questo ingresso virtuale. Una funzione di barriera composita che combina la sicurezza del livello superiore e la deviazione di $\eta$ da $\eta_d$ si dimostra essere una OD-ISSf-CBF (Teorema 3), a patto che siano soddisfatte specifiche condizioni di rango sulle matrici del sistema.

3. Implementazione del Controllore:
   Il framework produce un controllore a feedback derivato da un Programma di Programmazione Quadratica (QP). Questo QP ottimizza congiuntamente l'ingresso di controllo $u$ e il fattore di scala $\omega$ per minimizzare la deviazione da un controllore nominale pur soddisfacendo la rilassata condizione OD-ISSf-CBF. Il controllore risultante è Lipschitz continuo localmente e garantisce l'invarianza in avanti di un set sicuro gonfiato $S_\delta$, dove la dimensione del gonfiamento dipende dall'entità del disturbo e dai parametri scelti $\varepsilon$ e $\theta_d$.

Contributi Chiave
Il documento rivendica i seguenti contributi primari:

• Generalizzazione della ISSf: Un nuovo framework che utilizza OD-CBF e un modello di ingresso del disturbo generalizzato che offre una maggiore flessibilità nel compensare i disturbi, in particolare rilassando la verifica al confine/esterno del set sicuro.
• Procedura di Backstepping Costruttiva: Un metodo sistematico per sintetizzare ISSf-CBF per sistemi con disturbi non accoppiati. Ciò include trattamenti tecnici completi per sistemi a feedback stretto e sistemi a doppio grado relativo, estendendo l'applicabilità del backstepping dalla stabilizzazione alla gestione della sicurezza critica.
• Garanzie di Sicurezza Robusta: Dimostrazioni teoriche che i controllori sintetizzati garantiscono che il sistema rimanga entro un intorno limitato del set sicuro (ISSf), anche in presenza di incertezze non accoppiate, con la capacità di mantenere una sicurezza rigorosa se i limiti del disturbo sono sufficientemente piccoli.

Risultati e Simulazioni
I risultati teorici sono validati attraverso simulazioni numeriche su due sistemi benchmark:

• Pendolo Invertito: Un sistema a feedback stretto soggetto a disturbi non accoppiati. Le simulazioni dimostrano che il controllore proposto mantiene con successo il pendolo entro un intervallo angolare sicuro. I risultati illustrano il compromesso controllato dal parametro $\varepsilon$: valori più piccoli di $\varepsilon$ forniscono una maggiore robustezza, mantenendo la traiettoria all'interno del set sicuro, mentre valori più grandi permettono alla traiettoria di uscire dal set ma di rimanere entro un intorno limitato, in linea con la teoria ISSf.
• Quadrotor Piano: Un sistema a doppio grado relativo soggetto a raffiche di vento (disturbi non accoppiati). La simulazione mostra che il drone naviga con successo verso un vincolo a parete. Mentre il drone si avvicina al confine di sicurezza, il controllore regola l'orientamento ($\eta$) per allineare il vettore di spinta contro il disturbo, contrastando efficacemente l'incertezza non accoppiata. I risultati confermano che una selezione appropriata di $\varepsilon$ garantisce la sicurezza, mentre valori più grandi portano a violazioni della sicurezza.

Significato
Il documento posiziona questo lavoro come una soluzione costruttiva a un vuoto persistente nella gestione del controllo critico per la sicurezza: la sintesi di CBF per sistemi con incertezze non accoppiate. Sfruttando le proprietà strutturali dei sistemi a feedback stretto e DRD attraverso il backstepping, gli autori consentono la costruzione sistematica di filtri di sicurezza robusti per classi di sistemi non lineari di rilevanza pratica. Il lavoro colma il divario tra la robustezza teorica della ISS e le sfide pratiche di sintesi poste dalle dinamiche non accoppiate, offrendo una via per implementare controllori critici per la sicurezza su piattaforme robotiche complesse come quadrotor e manipolatori operanti in ambienti incerti.